Упр.484 ГДЗ Атанасян 7-9 класс по геометрии (Геометрия)

1. Докажите свойства средней линии треугольника: средняя линия треугольника параллельна одной из его сторон и равна половине этой стороны.
2. В прямоугольном треугольнике $$a$$ и $$b$$ — катеты, $$c$$ — гипотенуза. Найдите $$b$$, если:
   а) $$a=12$$, $$c=13$$;
   б) $$a=7$$, $$c=9$$;
   в) $$a=12$$, $$c=2b$$;
   г) $$a=2\sqrt{3}$$, $$c=2b$$;
   д) $$a=3b$$, $$c=2\sqrt{10}$$.

Пусть в треугольнике $$ABC$$ точки $$M$$ и $$N$$ — середины сторон $$AC$$ и $$BC$$ соответственно, то есть $$AM=MC$$ и $$BN=CN$$.

Докажем, что $$MN \parallel AB$$ и $$MN=\frac12 AB$$.

Отметим на продолжении отрезка $$MN$$ точку $$D$$ так, чтобы $$DN=MN$$. Тогда $$N$$ — середина отрезка $$MD$$.

Рассмотрим треугольники $$CMN$$ и $$DBN$$. В них:

• $$CN=NB$$ по условию;
• $$MN=ND$$ по построению;
• $$\angle CNM=\angle DNB$$ как вертикальные углы.

Следовательно, $$\triangle CMN \cong \triangle DBN$$ по двум сторонам и углу между ними. Отсюда

$$CM=DB,$$

а также $$\angle CMN=\angle BDN$$.

Так как эти углы — накрест лежащие при прямых $$CM$$ и $$BD$$ и секущей $$MD$$, то $$CM \parallel BD$$.

Теперь в четырёхугольнике $$AMDB$$ имеем:

• $$AM=DB$$, так как $$AM=CM$$ и $$CM=DB$$;
• $$AM \parallel DB$$.

Значит, $$AMDB$$ — параллелограмм. Тогда $$MD \parallel AB$$ и $$MD=AB$$.

Поскольку точки $$M, N, D$$ лежат на одной прямой и $$N$$ — середина $$MD$$, то

$$MN=\frac12 MD.$$

Но $$MD=AB$$, значит

$$MN=\frac12 AB.$$

Кроме того, так как $$MN$$ лежит на прямой $$MD$$, а $$MD \parallel AB$$, то

$$MN \parallel AB.$$

Что и требовалось доказать.