Упр.483 ГДЗ Атанасян 7-9 класс по геометрии (Геометрия)

Рассмотрим вариант решения задания из учебника Атанасян, Бутузов 8 класс, Просвещение: На диагонали BD параллелограмма ABCD отмечены две точки Р и Q так, что РВ = QD. Докажите, что четырёхугольник APCQ — параллелограмм. Найдите гипотенузу прямоугольного треугольника по данным катетам а и 6: а) а = 6, 6 = 8; б) а = 5, 6 = 6; в) a=3/7, b=4/7; г) a=8, b=8корень3.

Рассмотрим треугольники $$\triangle ABP$$ и $$\triangle CDQ$$.

Так как $$ABCD$$ — параллелограмм, то $$AB=CD$$, $$AB \parallel CD$$ и $$BC \parallel AD$$.

Поскольку точки $$P$$ и $$Q$$ лежат на диагонали $$BD$$, то прямые $$BP$$ и $$DQ$$ коллинеарны. Тогда

$$\angle ABP=\angle CDQ$$

как накрест лежащие углы при параллельных прямых $$AB \parallel CD$$.

Кроме того, по условию $$PB=QD$$, а также $$AB=CD$$. Значит,

$$\triangle ABP \cong \triangle CDQ$$

по двум сторонам и углу между ними.

Из равенства треугольников получаем:

$$AP=CQ.$$

Аналогично рассмотрим треугольники $$\triangle BCP$$ и $$\triangle ADQ$$. Имеем $$BC=AD$$, $$BP=QD$$ и

$$\angle CBP=\angle ADQ$$

как накрест лежащие углы при параллельных прямых $$BC \parallel AD$$.

Следовательно,

$$\triangle BCP \cong \triangle ADQ$$

по двум сторонам и углу между ними, откуда

$$CP=AQ.$$

Итак, в четырёхугольнике $$APCQ$$ обе пары противоположных сторон равны:

$$AP=CQ,\qquad CP=AQ.$$

Значит, $$APCQ$$ — параллелограмм.

Ответ

$$APCQ$$ — параллелограмм.