Упр.482 ГДЗ Атанасян 7-9 класс по геометрии (Геометрия)
- Диагонали параллелограмма $$ABCD$$ пересекаются в точке $$O$$. Докажите, что четырёхугольник $$A_1B_1C_1D_1$$, вершинами которого являются середины отрезков $$OA$$, $$OB$$, $$OC$$ и $$OD$$, — параллелограмм.
- Тупой угол равнобедренной трапеции равен $$135^\circ$$, а высота, проведённая из вершины этого угла, делит большее основание на отрезки $$1{,}4\ \text{см}$$ и $$3{,}4\ \text{см}$$. Найдите площадь трапеции.
Так как трапеция равнобедренная, то $$AB=CD$$ и $$\angle A=\angle D.$$
Пусть $$BH$$ — высота, проведённая из вершины $$B$$ к основанию $$AD$$, а $$CE$$ — высота из вершины $$C$$. Тогда четырёхугольник $$BHCE$$ — прямоугольник, поэтому $$HE=BC.$$
Рассмотрим прямоугольные треугольники $$BHA$$ и $$CED$$. У них
$$\angle BHA=\angle CED=90^\circ,$$
$$AB=CD,$$
$$AH=ED=1{,}4\text{ см}.$$
Следовательно, $$\triangle BHA \cong \triangle CED$$ по гипотенузе и прилежащему к ней острому углу, значит
$$BH=CE.$$
Из условия $$HD=3{,}4\text{ см}$$ и $$AH=1{,}4\text{ см},$$ поэтому
$$HE=HD-AH=3{,}4-1{,}4=2\text{ см}.$$
Тогда
$$BC=HE=2\text{ см}.$$
Теперь найдём высоту $$BH.$$ В треугольнике $$ABH$$ угол при $$B$$ равен
$$\angle ABH=\angle ABC-\angle HBC=135^\circ-90^\circ=45^\circ.$$
Так как $$\angle AHB=90^\circ,$$ то в треугольнике $$ABH$$ острые углы равны, значит он равнобедренный. Следовательно,
$$BH=AH=1{,}4\text{ см}.$$
Площадь трапеции:
$$S=\frac{AD+BC}{2}\cdot BH.$$
Основание $$AD$$ равно
$$AD=AH+HE+ED=1{,}4+2+1{,}4=4{,}8\text{ см}.$$
Тогда
$$S=\frac{4{,}8+2}{2}\cdot 1{,}4=3{,}4\cdot 1{,}4=4{,}76\text{ см}^2.$$
Ответ: $$4{,}76\text{ см}^2$$.
