Упр.481 ГДЗ Атанасян 7-9 класс по геометрии (Геометрия)

1. На рисунке 163 изображены два одинаковых колеса тепловоза. Радиусы $$O_1A$$ и $$O_2B$$ равны. Стержень $$AB$$, длина которого равна расстоянию $$O_1O_2$$ между центрами колёс, передаёт движение от одного колеса к другому. Докажите, что отрезки $$AB$$ и $$O_1O_2$$ либо параллельны, либо лежат на одной прямой.
2. Найдите площадь прямоугольной трапеции, у которой две меньшие стороны равны 6 см, а больший угол равен $$135^\circ$$.

Решение

Проведём из точки $$C$$ перпендикуляр к основанию $$AD$$ и обозначим точку пересечения через $$H$$. Тогда $$CH$$ — высота трапеции.

Так как $$BC \parallel AD$$, то угол между прямой $$CD$$ и основанием $$AD$$ равен

$$\angle HCD=135^\circ-90^\circ=45^\circ.$$

Рассмотрим прямоугольный треугольник $$CHD$$. В нём

$$\angle CHD=90^\circ,\qquad \angle HCD=45^\circ,$$

значит, $$\angle CDH=45^\circ$$ и треугольник $$CHD$$ равнобедренный. Следовательно,

$$CH=HD.$$

По условию $$AB=BC=6$$ см. Так как трапеция прямоугольная, то $$AB \perp BC$$, а значит, четырёхугольник $$ABCH$$ — прямоугольник. Поэтому

$$CH=AB=6\text{ см}.$$

Тогда и $$HD=6$$ см. Следовательно,

$$AD=AH+HD=BC+HD=6+6=12\text{ см}.$$

Теперь найдём площадь трапеции:

$$S=\frac{1}{2}(BC+AD)\cdot CH =\frac{1}{2}(6+12)\cdot 6 =54\text{ см}^2.$$

Ответ

$$54\text{ см}^2$$