Упр.480 ГДЗ Атанасян 7-9 класс по геометрии (Геометрия)
- Задание учебника 2025 года. На сторонах $$AB$$, $$BC$$, $$CD$$ и $$DA$$ четырёхугольника $$ABCD$$ отмечены соответственно точки $$M$$, $$N$$, $$P$$ и $$Q$$ так, что $$AM=CP$$, $$BN=DQ$$, $$BM=DP$$, $$NC=QA$$. Докажите, что $$ABCD$$ и $$MNPQ$$ — параллелограммы.
- Задание учебника 2023 года. Найдите площадь трапеции $$ABCD$$ с основаниями $$AB$$ и $$CD$$, если:
а) $$AB=21\text{ см}$$, $$CD=17\text{ см}$$, высота $$BH$$ равна $$7\text{ см}$$;
б) угол $$D=30^\circ$$, $$AB=2\text{ см}$$, $$CD=10\text{ см}$$, $$DA=8\text{ см}$$;
в) $$BC\perp AB$$, $$AB=5\text{ см}$$, $$BC=8\text{ см}$$, $$CD=13\text{ см}$$.
Пусть в четырёхугольнике $$ABCD$$ точки $$M,N,P,Q$$ лежат соответственно на сторонах $$AB,BC,CD,DA$$ и выполнены равенства $$AM=CP,$$ $$BN=DQ,$$ $$BM=DP,$$ $$NC=QA.$$
Доказательство
1) Из равенств $$BN=DQ$$ и $$NC=QA$$ получаем:
$$BC=BN+NC=DQ+QA=AD.$$
2) Из равенств $$AM=CP$$ и $$BM=DP$$ имеем:
$$AB=AM+BM=CP+DP=CD.$$
Следовательно, в четырёхугольнике $$ABCD$$ обе пары противоположных сторон равны, значит, $$ABCD$$ — параллелограмм.
3) Так как $$ABCD$$ — параллелограмм, то $$\angle B=\angle D$$ и $$\angle A=\angle C$$.
Рассмотрим треугольники $$MBN$$ и $$PDQ$$. У них:
$$BM=DP,$$ $$BN=DQ,$$ $$\angle MBN=\angle PDQ$$.
Значит, $$\triangle MBN \cong \triangle PDQ$$ по двум сторонам и углу между ними. Отсюда
$$MN=PQ.$$
Аналогично рассмотрим треугольники $$MAQ$$ и $$NCP$$. У них:
$$AM=CP,$$ $$AQ=CN,$$ $$\angle MAQ=\angle NCP.$$
Следовательно, $$\triangle MAQ \cong \triangle NCP$$, значит
$$MQ=NP.$$
Итак, в четырёхугольнике $$MNPQ$$ обе пары противоположных сторон равны, значит, $$MNPQ$$ — параллелограмм.
Ответ
$$ABCD$$ и $$MNPQ$$ — параллелограммы.
