Упр.478 ГДЗ Атанасян 7-9 класс по геометрии (Геометрия)
- Докажите, что параллелограмм является выпуклым четырёхугольником.
- В выпуклом четырёхугольнике диагонали взаимно перпендикулярны. Докажите, что площадь четырёхугольника равна половине произведения его диагоналей.
Пусть диагонали выпуклого четырёхугольника $$ABCD$$ пересекаются в точке $$O$$ и $$AC \perp BD$$.
Тогда четырёхугольник разбивается диагоналями на четыре треугольника:
$$S_{ABCD}=S_{AOB}+S_{BOC}+S_{COD}+S_{DOA}.$$
Так как диагонали перпендикулярны, то каждый из этих треугольников прямоугольный, поэтому
$$S_{AOB}=\frac12 AO\cdot BO,$$
$$S_{BOC}=\frac12 BO\cdot OC,$$
$$S_{COD}=\frac12 CO\cdot OD,$$
$$S_{DOA}=\frac12 OD\cdot AO.$$
Складывая, получаем
$$S_{ABCD}=\frac12 AO\cdot BO+\frac12 BO\cdot OC+\frac12 CO\cdot OD+\frac12 OD\cdot AO.$$
Сгруппируем слагаемые:
$$S_{ABCD}=\frac12 AO(BO+OD)+\frac12 OC(BO+OD).$$
Так как $$BO+OD=BD$$, а $$AO+OC=AC$$, то
$$S_{ABCD}=\frac12 BD(AO+OC)=\frac12 BD\cdot AC.$$
Следовательно,
$$S_{ABCD}=\frac12 AC\cdot BD.$$
Ответ: $$S_{ABCD}=\frac12 AC\cdot BD.$$
