Упр.477 ГДЗ Атанасян 7-9 класс по геометрии (Геометрия)

1. Задание учебника 2025 года. В параллелограмме $$MNPQ$$ проведён перпендикуляр $$NH$$ к прямой $$MQ$$, причём точка $$H$$ лежит на стороне $$MQ$$. Найдите стороны и углы параллелограмма, если известно, что $$MH=3\text{ см}$$, $$HQ=5\text{ см}$$, угол $$MNH=30^\circ$$.
2. Задание учебника 2023 года. Найдите диагонали ромба, если одна из них в $$1{,}5$$ раза больше другой, а площадь ромба равна $$27\text{ см}^2$$.

Пусть $$MNPQ$$ — параллелограмм, $$NH \perp MQ$$, $$H \in MQ$$, $$MH=3$$ см, $$HQ=5$$ см, $$\angle MNH=30^\circ$$.

Рассмотрим прямоугольный треугольник $$MNH$$. В нём $$\angle MHN=90^\circ$$, поэтому

$$\angle NMH=90^\circ-30^\circ=60^\circ.$$

Но луч $$MH$$ лежит на прямой $$MQ$$, значит $$\angle M=\angle NMQ=\angle NMH=60^\circ.$$

В параллелограмме противоположные углы равны, а соседние в сумме дают $$180^\circ$$, следовательно

$$\angle P=\angle M=60^\circ,$$

$$\angle N=\angle Q=180^\circ-60^\circ=120^\circ.$$

Найдём стороны. В прямоугольном треугольнике $$MNH$$ угол при $$N$$ равен $$30^\circ$$, значит катет, лежащий против угла $$30^\circ$$, равен половине гипотенузы:

$$MN=2\cdot MH=2\cdot 3=6\text{ см}.$$

В параллелограмме противоположные стороны равны, поэтому

$$PQ=MN=6\text{ см}.$$

Кроме того,

$$MQ=MH+HQ=3+5=8\text{ см},$$

а значит

$$NP=MQ=8\text{ см}.$$

Ответ: $$\angle M=\angle P=60^\circ,\ \angle N=\angle Q=120^\circ,\ MN=PQ=6\text{ см},\ MQ=NP=8\text{ см}.$$