Упр.476 ГДЗ Атанасян 7-9 класс по геометрии (Геометрия)

1. Найдите углы параллелограмма $$ABCD$$, если: а) $$\angle A=84^\circ$$; б) $$\angle A-\angle B=55’$$; в) $$\angle A+\angle C=142$$; д) $$\angle CAD=16^\circ$$, $$\angle ACD=37^\circ$$.
2. Докажите, что площадь ромба равна половине произведения его диагоналей. Вычислите площадь ромба, если его диагонали равны: а) $$3{,}2\text{ дм}$$ и $$14\text{ см}$$; б) $$4{,}6\text{ дм}$$ и $$2\text{ дм}$$.

Пусть диагонали ромба $$AC$$ и $$BD$$ пересекаются в точке $$O$$. Тогда по свойству ромба диагонали взаимно перпендикулярны и делятся точкой пересечения пополам:

$$AO=OC,\quad BO=OD,\quad AC\perp BD.$$

Треугольники $$AOD$$, $$DOC$$, $$COB$$ и $$AOB$$ — прямоугольные. Поэтому

$$S_{AOD}=\frac{1}{2}\cdot AO\cdot OD.$$

Так как $$AO=\frac{AC}{2}$$ и $$OD=\frac{BD}{2}$$, получаем

$$S_{AOD}=\frac{1}{2}\cdot \frac{AC}{2}\cdot \frac{BD}{2}=\frac{AC\cdot BD}{8}.$$

Площадь ромба равна сумме площадей четырёх таких треугольников:

$$S_{ABCD}=4S_{AOD}=4\cdot \frac{AC\cdot BD}{8}=\frac{AC\cdot BD}{2}.$$

Значит, площадь ромба равна половине произведения его диагоналей.

Теперь вычислим площадь.

1. $$AC=14\text{ см},\quad BD=3{,}2\text{ дм}=32\text{ см}.$$

   $$S=\frac{14\cdot 32}{2}=224\text{ см}^2.$$

2. $$AC=2\text{ дм},\quad BD=4{,}6\text{ дм}.$$

   $$S=\frac{2\cdot 4{,}6}{2}=4{,}6\text{ дм}^2.$$

Ответ: $$S_{ABCD}=\frac{AC\cdot BD}{2}$$; а) $$224\text{ см}^2$$; б) $$4{,}6\text{ дм}^2$$.