Упр.476 ГДЗ Атанасян 7-9 класс по геометрии (Геометрия)

Рассмотрим вариант решения задания из учебника Атанасян, Бутузов 8 класс, Просвещение: Найдите углы параллелограмм: ABCD, если: a) угол A = 84°; б) угол A-угол B = 55′; в) угол A+угол C=142 д) угол CAD = 16°, угол ACD = 37°. Докажите, что площадь ромба равна половине произведения его диагоналей. Вычислите площадь ромба, если его диагонали равны: а) 3,2 дм и 14 см; б) 4,6 дм и 2 дм.

Пусть $$ABCD$$ — параллелограмм. Тогда противоположные углы равны, а смежные в сумме дают $$180^\circ$$:

$$\angle A=\angle C,\qquad \angle B=\angle D,\qquad \angle A+\angle B=180^\circ.$$

а) Если $$\angle A=84^\circ$$, то

$$\angle C=84^\circ,$$

$$\angle B=180^\circ-84^\circ=96^\circ,$$

$$\angle D=96^\circ.$$

б) По условию $$\angle A-\angle B=55^\circ$$. Так как $$\angle A+\angle B=180^\circ$$, получаем систему:

$$ \begin{cases} \angle A-\angle B=55^\circ,\\ \angle A+\angle B=180^\circ. \end{cases} $$

Складываем уравнения:

$$2\angle A=235^\circ,\qquad \angle A=117^\circ30′.$$

Тогда

$$\angle B=180^\circ-117^\circ30’=62^\circ30′,$$

а значит

$$\angle C=117^\circ30′,\qquad \angle D=62^\circ30′.$$

в) Если $$\angle A+\angle C=142^\circ$$, а $$\angle A=\angle C$$, то

$$2\angle A=142^\circ,\qquad \angle A=71^\circ.$$

Следовательно,

$$\angle C=71^\circ,$$

$$\angle B=180^\circ-71^\circ=109^\circ,$$

$$\angle D=109^\circ.$$

г) По условию $$\angle A=2\angle B$$, а также $$\angle A+\angle B=180^\circ$$. Тогда

$$2\angle B+\angle B=180^\circ,$$

$$3\angle B=180^\circ,\qquad \angle B=60^\circ.$$

Значит,

$$\angle A=120^\circ,\qquad \angle C=120^\circ,\qquad \angle D=60^\circ.$$

д) Рассмотрим треугольник $$ACD$$. В нём

$$\angle CAD=16^\circ,\qquad \angle ACD=37^\circ.$$

Тогда

$$\angle CDA=180^\circ-(16^\circ+37^\circ)=127^\circ.$$

В параллелограмме противоположные углы равны, значит

$$\angle B=\angle D=127^\circ.$$

Смежные углы параллелограмма дополняют друг друга до $$180^\circ$$, поэтому

$$\angle A=180^\circ-127^\circ=53^\circ,$$

а значит

$$\angle C=53^\circ.$$

Теперь докажем формулу площади ромба. Диагонали ромба пересекаются и делятся пополам, а также перпендикулярны. Поэтому ромб разбивается на 4 равных прямоугольных треугольника с катетами $$\frac{AC}{2}$$ и $$\frac{BD}{2}$$.

Площадь одного такого треугольника:

$$S_1=\frac{1}{2}\cdot \frac{AC}{2}\cdot \frac{BD}{2}=\frac{AC\cdot BD}{8}.$$

Тогда площадь ромба равна

$$S_{ABCD}=4S_1=4\cdot \frac{AC\cdot BD}{8}=\frac{AC\cdot BD}{2}.$$

Итак,

$$S=\frac{d_1d_2}{2}.$$

а) $$3{,}2\ \text{дм}=32\ \text{см}.$$ Тогда

$$S=\frac{14\cdot 32}{2}=224\ \text{см}^2.$$

б)

$$S=\frac{4{,}6\cdot 2}{2}=4{,}6\ \text{дм}^2.$$

Ответ

а) $$\angle A=\angle C=84^\circ,\ \angle B=\angle D=96^\circ$$; б) $$\angle A=\angle C=117^\circ30′,\ \angle B=\angle D=62^\circ30’$$; в) $$\angle A=\angle C=71^\circ,\ \angle B=\angle D=109^\circ$$; г) $$\angle A=\angle C=120^\circ,\ \angle B=\angle D=60^\circ$$; д) $$\angle A=\angle C=53^\circ,\ \angle B=\angle D=127^\circ$$. $$S=\frac{d_1d_2}{2}$$; а) $$224\ \text{см}^2$$; б) $$4{,}6\ \text{дм}^2$$.