Упр.473 ГДЗ Атанасян 7-9 класс по геометрии (Геометрия)

Задача

Рассмотрим вариант решения задания из учебника Атанасян, Бутузов 8 класс, Просвещение: Периметр параллелограмма ABCD равен 50 см, угол C = 30°, а перпендикуляр ВН к прямой CD равен 6,5 см. Найдите стороны параллелограмма. Через вершину С треугольника ABC проведена прямая m, параллельная стороне АВ. Докажите, что все треугольники с вершинами на прямой m и основанием АВ имеют равные площади.

Подробный ответ

1) Обозначим стороны параллелограмма: $$BC=x,$$ $$AB=CD=y.$$

Так как $$BH \perp CD,$$ а $$\angle C=30^\circ,$$ то в прямоугольном треугольнике $$BCH$$ угол $$\angle BCH=30^\circ.$$ Тогда катет, лежащий против угла $$30^\circ,$$ равен половине гипотенузы:

$$BH=\frac{1}{2}BC,$$

откуда

$$BC=2BH=2\cdot 6{,}5=13\text{ см}.$$

В параллелограмме противоположные стороны равны, значит

$$AD=BC=13\text{ см},$$

$$AB=CD.$$

Периметр параллелограмма:

$$P=2(AB+BC)=50.$$

Подставим найденное значение $$BC=13$$:

$$2(AB+13)=50,$$

$$AB+13=25,$$

$$AB=12\text{ см}.$$

Следовательно,

$$CD=12\text{ см}.$$

2) Пусть через вершину $$C$$ треугольника $$ABC$$ проведена прямая $$m,$$ параллельная стороне $$AB.$$ Возьмём на прямой $$m$$ произвольную точку $$D.$$ Докажем, что площади треугольников $$ABC$$ и $$ABD$$ равны.

Так как $$AB \parallel m,$$ то расстояние от любой точки прямой $$m$$ до прямой $$AB$$ одинаково. Обозначим это расстояние через $$h.$$ Тогда высоты треугольников $$ABC$$ и $$ABD$$, опущенные на основание $$AB,$$ равны:

$$CH=DE=h.$$

Следовательно,

$$S_{ABC}=\frac{1}{2}\cdot AB\cdot CH,$$

$$S_{ABD}=\frac{1}{2}\cdot AB\cdot DE.$$

Так как $$CH=DE,$$ то

$$S_{ABC}=S_{ABD}.$$

Значит, все треугольники с вершинами на прямой $$m$$ и основанием $$AB$$ имеют равные площади.