Упр.471 ГДЗ Атанасян 7-9 класс по геометрии (Геометрия)
- Докажите, что выпуклый четырёхугольник $$ABCD$$ является параллелограммом, если:
а) $$\angle BAC = \angle ACD$$ и $$\angle BCA = \angle DAC$$;
б) $$AB \parallel CD$$, $$\angle A = \angle C$$. - Найдите площадь прямоугольного треугольника, если его катеты равны:
а) $$4\ \text{см}$$ и $$11\ \text{см}$$;
б) $$1{,}2\ \text{дм}$$ и $$3\ \text{дм}$$.
а) Рассмотрим треугольники $$ABC$$ и $$ACD$$.
По условию $$\angle BAC=\angle ACD$$ и $$\angle BCA=\angle DAC$$, а сторона $$AC$$ — общая.
Следовательно, $$ABC \cong ACD$$ по стороне и двум прилежащим к ней углам.
Из равенства треугольников получаем:
$$BC=AD.$$
Кроме того, $$\angle BCA=\angle CAD$$. Это накрест лежащие углы при секущей $$AC$$, значит,
$$BC \parallel AD.$$
Итак, в четырёхугольнике $$ABCD$$ одна пара противоположных сторон равна и параллельна, следовательно, $$ABCD$$ — параллелограмм.
б) Так как $$AB \parallel CD$$, то при секущей $$AD$$ внутренние односторонние углы дополняют друг друга до $$180^\circ$$:
$$\angle A+\angle D=180^\circ.$$
При секущей $$BC$$ также имеем:
$$\angle B+\angle C=180^\circ.$$
По условию $$\angle A=\angle C$$. Тогда
$$\angle B=180^\circ-\angle C=180^\circ-\angle A,$$
$$\angle D=180^\circ-\angle A.$$
Значит,
$$\angle B+\angle A=(180^\circ-\angle A)+\angle A=180^\circ.$$
Следовательно, $$AB \parallel CD$$. Тогда обе пары противоположных сторон четырёхугольника $$ABCD$$ параллельны, значит, $$ABCD$$ — параллелограмм.
Ответ
а) $$ABCD$$ — параллелограмм; б) $$ABCD$$ — параллелограмм.
