Упр.466 ГДЗ Атанасян 7-9 класс по геометрии (Геометрия)

1. Найдите стороны четырёхугольника, если его периметр равен $$8\ \text{см}$$, а одна сторона больше каждой из других сторон соответственно на $$3\ \text{мм}$$, $$4\ \text{мм}$$ и $$5\ \text{мм}$$.
2. Диагональ параллелограмма равна его стороне. Найдите площадь параллелограмма, если большая его сторона равна $$15{,}2\ \text{см}$$, а один из его углов $$45^\circ$$.

Пусть большая сторона параллелограмма равна $$AB=15{,}2\text{ см}.$$ По условию диагональ равна стороне, значит

$$BD=AB.$$

Рассмотрим треугольник $$ABD.$$ Так как $$AB=BD,$$ то он равнобедренный. Следовательно, углы при основании равны:

$$\angle BAD=\angle ADB.$$

Но $$\angle BAD=45^\circ,$$ значит

$$\angle ADB=45^\circ,$$

и тогда

$$\angle ABD=180^\circ-45^\circ-45^\circ=90^\circ.$$

Значит, треугольник $$ABD$$ прямоугольный равнобедренный, а высота $$DH,$$ опущенная из вершины $$D$$ на гипотенузу $$AB,$$ является также медианой. Поэтому

$$DH=\frac12 AB=\frac12\cdot 15{,}2=7{,}6\text{ см}.$$

Площадь параллелограмма равна произведению основания на высоту:

$$S_{ABCD}=AB\cdot DH=15{,}2\cdot 7{,}6=115{,}52\text{ см}^2.$$

Ответ

$$115{,}52\text{ см}^2.$$