Упр.460 ГДЗ Атанасян 7-9 класс по геометрии (Геометрия)
- Дан прямоугольный треугольник. Постройте окружность с центром на одном из катетов, которая касается гипотенузы и проходит через вершину прямого угла треугольника.
- Диагональ параллелограмма, равная 13 см, перпендикулярна к стороне параллелограмма, равной 12 см. Найдите площадь параллелограмма.
Пусть дан прямоугольный треугольник $$ABC$$ с прямым углом $$B$$. Проведём биссектрису угла $$\angle ACB$$ и обозначим через $$O$$ точку её пересечения с прямой $$AB$$.
Так как точка $$O$$ лежит на биссектрисе угла $$ACB$$, то она равноудалена от сторон $$AC$$ и $$BC$$. Значит, окружность с центром в точке $$O$$ и радиусом $$OB$$ касается стороны $$BC$$ в точке $$B$$.
Кроме того, точка $$O$$ лежит на прямой $$AB$$, поэтому окружность с центром $$O$$ и радиусом $$OB$$ проходит через вершину прямого угла $$B$$. Остаётся показать, что она касается гипотенузы $$AC$$.
Поскольку $$O$$ лежит на биссектрисе угла $$ACB$$, расстояния от $$O$$ до прямых $$AC$$ и $$BC$$ равны. А расстояние от $$O$$ до $$BC$$ равно радиусу окружности, значит, и расстояние от $$O$$ до $$AC$$ равно этому радиусу. Следовательно, окружность касается прямой $$AC$$.
Итак, искомая окружность построена: это окружность с центром в точке пересечения биссектрисы угла $$ACB$$ с прямой $$AB$$ и радиусом $$OB$$.
