Упр.459 ГДЗ Атанасян 7-9 класс по геометрии (Геометрия)

Задача

1) Построим точки M и N симметричные точке A;
2) Отметим B на пересечении MN и стороны угла;
3) Отметим C на пересечении MN и стороны угла;
4) Периметр этого треугольник ABC является наименьшим. Пусть а — основание, h — высота, a S — площадь параллелограмма. Найдите: a) S, если а = 15 см, h = 12 см; б) а, если S = 34cm2, h = 8,5 см; в) а, если S = 162cm2, h = 1/2а; г) h, если h = 3а, S= 27.

Подробный ответ

Пусть точки M и N симметричны точке A относительно сторон угла. Тогда для любой точки B на одной стороне угла и любой точки C на другой стороне угла выполняется:

$$AB=MB,\qquad AC=CN.$$

Следовательно,

$$AB+BC+CA=MB+BC+CN.$$

Значит, периметр треугольника $$ABC$$ равен длине ломаной $$MBCN$$. Наименьшая длина такой ломаной получается, когда точки B и C лежат на прямой $$MN$$, то есть когда

$$B=MN\cap \text{(одна сторона угла)},\qquad C=MN\cap \text{(другая сторона угла)}.$$

Тогда отрезок $$MN$$ проходит через точки $$B$$ и $$C$$, и периметр треугольника $$ABC$$ будет наименьшим.