Упр.459 ГДЗ Атанасян 7-9 класс по геометрии (Геометрия)

1. Даны острый угол и его внутренняя точка $$A$$. Постройте на сторонах угла такие точки $$B$$ и $$C$$, чтобы периметр треугольника $$ABC$$ был наименьшим.
2. Пусть $$a$$ — основание, $$h$$ — высота, $$S$$ — площадь параллелограмма. Найдите:
   а) $$S$$, если $$a=15\text{ см}$$, $$h=12\text{ см}$$;
   б) $$a$$, если $$S=34\text{ см}^2$$, $$h=8{,}5\text{ см}$$;
   в) $$a$$, если $$S=162\text{ см}^2$$, $$h=\frac{1}{2}a$$;
   г) $$h$$, если $$h=3a$$, $$S=27$$.

Пусть точки $$M$$ и $$N$$ симметричны точке $$A$$ относительно сторон угла. Тогда для любой точки $$B$$ на одной стороне угла и любой точки $$C$$ на другой стороне выполняется

$$AB=BM,\qquad AC=CN.$$

Следовательно, периметр треугольника $$ABC$$ равен

$$P_{ABC}=AB+BC+CA=BM+BC+CN.$$

Но сумма $$BM+BC+CN$$ наименьшая тогда, когда ломаная $$MBCN$$ превращается в отрезок, то есть точки $$B$$ и $$C$$ лежат на прямой $$MN$$.

Значит, нужно провести прямую через точки $$M$$ и $$N$$ и взять

$$B=MN\cap \text{(одна сторона угла)},\qquad C=MN\cap \text{(другая сторона угла)}.$$

В этом случае периметр треугольника $$ABC$$ будет наименьшим.