Упр.453 ГДЗ Атанасян 7-9 класс по геометрии (Геометрия)

Задача

Дано:
O_1 A=O_2 B;
m-касатель;
M-общ.точка;
E=AO_2nBO_1;
Доказать:
AB=O_1 O_2;
Решение:
1) Для заданных окружностей:
O_1 A перпендикулярно AB; O_2 B перпендикулярно AB; O_1 A || O_2 B;
2) Накрест лежащие углы:
O_1 A || O_2 B; AO_2; угол O_1 AO_2=угол BO_2 A;
O_1 A || O_2 B; BO_1; угол BO_1 A=угол O_1 BO_2;
3) По второму признаку:
O_1 A=O_2 B=R, угол A=угол O_2, угол B=угол O_1;
треугольник AEO_1=треугольник BEO_2; AE=EO_2; O_1 E=BE;
4) По первому признаку:
угол AEB=угол O_1 EO_2; AE=EO_2; O_1 E=BE;
треугольник AEB=треугольник O_1 EO_2,поэтому AB=O_1 O_2;
Что и требовалось доказать. Как изменится площадь прямоугольника, если: а) одну пару противоположных сторон увеличить в два раза; б) каждую сторону увеличить в два раза; в) одну пару противоположных сторон увеличить в два раза, а другую — уменьшить в два раза?

Подробный ответ

Обозначим через $$E$$ точку пересечения прямых $$AO_2$$ и $$BO_1$$.

Так как прямая $$m$$ касается первой окружности в точке $$A$$, а второй — в точке $$B$$, то радиусы, проведённые в точки касания, перпендикулярны касательной:

$$O_1A \perp AB,\qquad O_2B \perp AB.$$

Следовательно, $$O_1A \parallel O_2B$$.

Рассмотрим треугольники $$\triangle AEO_1$$ и $$\triangle BEO_2$$.

Так как $$O_1A \parallel O_2B$$, то

$$\angle O_1AE=\angle O_2BE.$$

Кроме того, углы при вершине $$E$$ равны как вертикальные:

$$\angle O_1EA=\angle O_2EB.$$

И ещё

$$O_1A=O_2B,$$

поскольку окружности равны.

Значит, $$\triangle AEO_1 \cong \triangle BEO_2$$ по стороне и двум прилежащим к ней углам. Отсюда

$$AE=BE,\qquad O_1E=EO_2.$$