Упр.448 ГДЗ Атанасян 7-9 класс по геометрии (Геометрия)

Задача

Рассмотрим вариант решения задания из учебника Атанасян, Бутузов 7 класс, Просвещение: Постройте точку, лежащую на данной окружности и равноудалённую от концов данного отрезка. Сколько решений может иметь задача? На стороне AD прямоугольника ABCD построен треугольник ADE так, что его стороны АЕ и DE пересекают отрезок ВС в точках М и N, причём точка М — середина отрезка АЕ. Докажите, что SABCD = SADE.

Подробный ответ

Пусть $$EH \perp BC$$, где точка $$H$$ лежит на прямой $$BC$$. Тогда $$EH \perp MN$$, так как точки $$M, H, N$$ лежат на одной прямой.

Рассмотрим треугольники $$\triangle ABM$$ и $$\triangle MEH$$. Имеем:

$$AM = ME$$ — по условию;
$$\angle BMA = \angle EMH$$ — как вертикальные;
$$\angle ABM = \angle MEH = 90^\circ$$, так как $$AB \perp BC$$ и $$EH \perp BC$$.

Следовательно, $$\triangle ABM \cong \triangle MEH$$, значит

$$AB = EH.$$

Теперь рассмотрим треугольники $$\triangle EHN$$ и $$\triangle DCN$$. Имеем:

$$\angle EHN = \angle CDN = 90^\circ$$;
$$\angle ENH = \angle CND$$ — как вертикальные;
$$EH = CD$$, так как в прямоугольнике $$ABCD$$ противоположные стороны равны, а ранее получено $$AB = EH$$, значит $$CD = AB = EH$$.

Следовательно, $$\triangle EHN \cong \triangle DCN$$, откуда

$$S_{EHN} = S_{DCN}.$$

Площадь треугольника $$ADE$$ разбивается на три части:

$$S_{ADE} = S_{AMN} + S_{MEH} + S_{EHN}.$$

Площадь прямоугольника $$ABCD$$ также равна сумме площадей трёх прямоугольных треугольников:

$$S_{ABCD} = S_{AMN} + S_{ABM} + S_{DCN}.$$

Так как $$S_{ABM} = S_{MEH}$$ и $$S_{DCN} = S_{EHN}$$, то

$$S_{ABCD} = S_{AMN} + S_{MEH} + S_{EHN} = S_{ADE}.$$