Упр.447 ГДЗ Атанасян 7-9 класс по геометрии (Геометрия)

1. Даны две точки $$A$$ и $$B$$ и прямая $$a$$, не проходящая через эти точки. На прямой $$a$$ постройте точку, равноудалённую от точек $$A$$ и $$B$$. Всегда ли задача имеет решение?
2. Начертите параллелограмм $$ABCD$$ и отметьте точку $$M$$, симметричную точке $$D$$ относительно точки $$C$$. Докажите, что $$S_{ABCD}=S_{AMD}$$.

Построим отрезок $$AB$$ и его серединный перпендикуляр. Любая точка этого перпендикуляра равноудалена от точек $$A$$ и $$B$$, так как лежит на множестве точек, равноудалённых от концов отрезка.

Теперь рассмотрим пересечение серединного перпендикуляра с прямой $$a$$.

• Если прямая $$a$$ пересекает серединный перпендикуляр к $$AB$$, то точка пересечения и будет искомой.
• Если прямая $$a$$ параллельна отрезку $$AB$$ и не совпадает с серединным перпендикуляром, то пересечения нет, значит, решения нет.
• Если прямая $$a$$ сама является серединным перпендикуляром к $$AB$$, то любая её точка равноудалена от $$A$$ и $$B$$.

Следовательно, задача имеет решение не всегда: оно существует тогда и только тогда, когда прямая $$a$$ пересекает серединный перпендикуляр к отрезку $$AB$$.

Ответ: построить серединный перпендикуляр к $$AB$$ и взять точку его пересечения с прямой $$a$$; задача не всегда имеет решение.