Упр.447 ГДЗ Атанасян 7-9 класс по геометрии (Геометрия)

Рассмотрим вариант решения задания из учебника Атанасян, Бутузов 7 класс, Просвещение: Даны две точки А и В и прямая а, не проходящая через эти точки. На прямой а постройте точку, равноудалённую от точек А и В. Всегда ли задача имеет решение? Начертите параллелограмм ABCD и отметьте точку М, симметричную точке D относительно точки С. Докажите, что SABCD = SAMD.

1) Чтобы построить на прямой $$a$$ точку, равноудалённую от точек $$A$$ и $$B$$, проведём отрезок $$AB$$ и построим его серединный перпендикуляр. Любая точка этого перпендикуляра равноудалена от $$A$$ и $$B$$. Поэтому искомая точка — это точка пересечения серединного перпендикуляра к $$AB$$ с прямой $$a$$.

Если прямая $$a$$ не пересекает серединный перпендикуляр к $$AB$$, то решения нет. В частности, если $$AB \parallel a$$ и $$a$$ не является серединным перпендикуляром к $$AB$$, задача не имеет решения. Если же $$a$$ совпадает с серединным перпендикуляром к $$AB$$, то любая точка прямой $$a$$ равноудалена от $$A$$ и $$B$$.

2) Пусть $$ABCD$$ — параллелограмм, а точка $$M$$ симметрична точке $$D$$ относительно точки $$C$$. Тогда точки $$D, C, M$$ лежат на одной прямой и $$CD = CM$$.

Рассмотрим треугольники $$\triangle ABO$$ и $$\triangle MCO$$, где $$O$$ — точка пересечения диагонали $$AC$$ с прямой $$BM$$.

Так как $$AB \parallel CD$$, а точки $$D, C, M$$ лежат на одной прямой, то $$AB \parallel CM$$. Кроме того, $$AB = CD$$ как противоположные стороны параллелограмма, а значит $$AB = CM$$.

Углы $$\angle BAO$$ и $$\angle CMO$$ равны как накрест лежащие при параллельных прямых $$AB$$ и $$CM$$ и секущей $$AM$$. Аналогично $$\angle ABO = \angle MCO$$.

Следовательно, $$\triangle ABO \cong \triangle MCO$$ по стороне и двум прилежащим углам. Поэтому их площади равны:

$$S_{ABO}=S_{MCO}.$$

Теперь

$$ S_{ABCD}=S_{ABO}+S_{AODC}, $$

а также

$$ S_{AMD}=S_{MOC}+S_{AODC}. $$

Так как $$S_{ABO}=S_{MCO}$$, то

$$S_{ABCD}=S_{AMD}.$$

Ответ

1) Искомая точка — пересечение прямой $$a$$ с серединным перпендикуляром к $$AB$$; решение существует не всегда. Если $$a$$ не пересекает этот перпендикуляр, решения нет. Если $$a$$ совпадает с ним, то любая точка прямой $$a$$ подходит.

2) $$S_{ABCD}=S_{AMD}.$$