Упр.444 ГДЗ Атанасян 7-9 класс по геометрии (Геометрия)

Задача

Рассмотрим вариант решения задания из учебника Атанасян, Бутузов 7 класс, Просвещение: Дана окружность с центром О и точка А вне её. Проведите через точку А прямую, пересекающую окружность в точках В и С таких, что АВ = ВС. Докажите, что если фигура имеет две взаимно перпендикулярные оси симметрии, то точка их пересечения является центром симметрии фигуры.

Подробный ответ

Пусть прямая, проходящая через точку $$A$$, пересекает окружность в точках $$B$$ и $$C$$, причём $$A$$ лежит вне окружности и $$AB=BC$$.

Построим окружность с центром в точке $$A$$ и радиусом $$2R$$, где $$R$$ — радиус данной окружности. Обозначим точки пересечения этой окружности с данной окружностью через $$C_1$$ и $$C_2$$. Проведём прямые $$AC_1$$ и $$AC_2$$; они пересекут данную окружность в точках $$B_1$$ и $$B_2$$ соответственно.

Рассмотрим треугольники $$\triangle C_1K_1A$$ и $$\triangle C_2K_2A$$, где $$K_1$$ и $$K_2$$ — точки пересечения лучей $$AC_1$$ и $$AC_2$$ с окружностью радиуса $$2R$$. Эти треугольники равнобедренные, так как

$$AK_1=AK_2=2R,\qquad C_1K_1=C_2K_2=R.$$

Кроме того, углы $$\angle K_1B_1C_1$$ и $$\angle K_2B_2C_2$$ — вписанные, опирающиеся на диаметр, значит они прямые. Следовательно,

$$C_1B_1=B_1A,\qquad C_2B_2=B_2A.$$

То есть точки $$B_1$$ и $$B_2$$ делят отрезки $$AC_1$$ и $$AC_2$$ пополам. Значит, прямая, проходящая через $$A$$ и соответствующую точку пересечения с окружностью, даёт искомое расположение точек $$B$$ и $$C$$, для которого $$AB=BC$$.

Теперь докажем утверждение об осях симметрии. Пусть фигура имеет две взаимно перпендикулярные оси симметрии. Тогда при отражении относительно каждой из них фигура переходит сама в себя. Точка пересечения осей остаётся неподвижной при обоих отражениях.

Композиция двух отражений относительно перпендикулярных прямых есть поворот на $$180^\circ$$ вокруг точки их пересечения. Значит, эта точка является центром симметрии фигуры.