Упр.441 ГДЗ Атанасян 7-9 класс по геометрии (Геометрия)
- В треугольнике $$ABC$$ высота $$AA_1$$ не меньше стороны $$BC$$, а высота $$BB_1$$ не меньше стороны $$AC$$. Докажите, что треугольник $$ABC$$ — равнобедренный и прямоугольный.
- Докажите, что прямые, содержащие диагонали ромба, являются его осями симметрии.
Пусть $$AA_1$$ и $$BB_1$$ — высоты треугольника $$ABC$$.
Докажем сначала, что $$\angle C=90^\circ$$.
Предположим, что точки $$A_1$$ и $$B_1$$ не совпадают с точкой $$C$$. Тогда рассмотрим прямоугольные треугольники $$AA_1C$$ и $$BB_1C$$.
В треугольнике $$AA_1C$$ гипотенуза $$AC$$, значит, $$AA_1<AC$$. По условию $$AA_1\ge BC$$, следовательно, $$BC<AC$$.
В треугольнике $$BB_1C$$ гипотенуза $$BC$$, значит, $$BB_1<BC$$. По условию $$BB_1\ge AC$$, следовательно, $$AC<BC$$.
Получили противоречие: одновременно $$BC<AC$$ и $$AC<BC$$ быть не может. Значит, наше предположение неверно, и точки $$A_1$$, $$B_1$$ и $$C$$ совпадают. Тогда $$AA_1$$ и $$BB_1$$ — это стороны, перпендикулярные к $$BC$$ и $$AC$$ соответственно, то есть $$AC\perp BC$$.
Следовательно, $$\angle C=90^\circ$$.
Теперь из условий $$AA_1\ge BC$$ и $$BB_1\ge AC$$, а также из того, что $$A_1=B_1=C$$, получаем:
$$AA_1=AC,\qquad BB_1=BC.$$
Но $$AA_1$$ и $$BB_1$$ — высоты, проведённые из вершин $$A$$ и $$B$$ к сторонам $$BC$$ и $$AC$$. Так как $$\angle C=90^\circ$$, то $$AA_1=AC$$ и $$BB_1=BC$$, откуда
$$AC=BC.$$
Итак, в треугольнике $$ABC$$ выполнены два условия:
- $$\angle C=90^\circ$$;
- $$AC=BC$$.
Значит, треугольник $$ABC$$ равнобедренный и прямоугольный.
