Упр.440 ГДЗ Атанасян 7-9 класс по геометрии (Геометрия)

1. Медиана и высота треугольника, проведённые из одной вершины угла треугольника, делят этот угол на три равные части. Докажите, что треугольник прямоугольный.
2. На двух сторонах треугольника вне его построены квадраты. Докажите, что отрезок, соединяющий концы сторон квадратов, выходящих из одной вершины треугольника, в два раза больше медианы треугольника, выходящей из той же вершины.

Пусть $$\angle ACH=\angle MCH=\angle MCB=\alpha.$$

Так как $$CH$$ — и высота, и медиана треугольника $$ACM$$, то $$\triangle ACM$$ равнобедренный. Следовательно,

$$AH=HM=x,$$

значит

$$MB=2x.$$

Проведём $$MD\perp BC$$.

Рассмотрим прямоугольные треугольники $$\triangle CHM$$ и $$\triangle CDM$$. У них

$$CM$$ — общая гипотенуза,

$$\angle MCH=\angle MCD,$$

поэтому $$\triangle CHM \cong \triangle CDM$$ по гипотенузе и острому углу. Отсюда

$$HM=MD=x.$$

Теперь рассмотрим прямоугольный треугольник $$\triangle MDB$$. В нём

$$MD=\frac12 MB,$$

значит угол при $$B$$ равен $$30^\circ$$, то есть

$$\angle B=30^\circ.$$

Так как $$CH\perp AB$$, то треугольник $$BCH$$ прямоугольный, и

$$\angle BCH=90^\circ-\angle B=90^\circ-30^\circ=60^\circ.$$

Но

$$\angle BCH=2\alpha,$$

следовательно,

$$2\alpha=60^\circ,\qquad \alpha=30^\circ.$$

Тогда

$$\angle C=3\alpha=90^\circ.$$

Значит, $$\triangle ABC$$ прямоугольный.

Ответ

$$\triangle ABC$$ прямоугольный, $$\angle C=90^\circ.$$