Упр.439 ГДЗ Атанасян 7-9 класс по геометрии (Геометрия)

1. Докажите, что в прямоугольном треугольнике с неравными катетами биссектриса прямого угла делит угол между высотой и медианой, проведёнными из той же вершины, пополам.
2. Сумма углов при одном из оснований трапеции равна 90°. Докажите, что отрезок, соединяющий середины оснований трапеции, равен их полуразности.

Рассмотрим трапецию $$ABCD$$, в которой $$\angle A+\angle D=90^\circ$$. Пусть $$N$$ — точка пересечения продолжений боковых сторон, $$M$$ и $$E$$ — середины оснований $$AD$$ и $$BC$$ соответственно.

Проведём через точку $$N$$ прямые $$NE \parallel AB$$ и $$NF \parallel CD$$, где $$F$$ — точка на основании $$AD$$.

1. Так как $$NE \parallel AB$$ и $$NF \parallel CD$$, то $$ABNE$$ и $$NCDF$$ — параллелограммы.
2. Из параллелограмма $$ABNE$$ получаем $$BN=AE$$, а из параллелограмма $$NCDF$$ — $$NC=FD$$.
3. Так как $$AM=MD$$, то
   $$AM=AE+EM,\qquad MD=FD+MF.$$
   Но $$AM=MD$$, значит $$EM=MF$$. Следовательно, $$M$$ — середина отрезка $$EF$$.
4. Из параллелограмма $$ABNE$$ имеем также $$\angle A=\angle NEM$$, а из параллелограмма $$NCDF$$ — $$\angle D=\angle NFM$$.
5. По условию $$\angle A+\angle D=90^\circ$$, значит
   $$\angle NEM+\angle NFM=90^\circ.$$
   Следовательно, $$\angle ENF=90^\circ$$, то есть треугольник $$ENF$$ прямоугольный.
6. В прямоугольном треугольнике медиана, проведённая к гипотенузе, равна половине гипотенузы, поэтому
   $$NM=\frac12 EF.$$
7. Найдём $$EF$$:
   $$EF=AD-(AE+FD).$$
   Но $$AE=BN$$, $$FD=NC$$, значит
   $$EF=AD-(BN+NC)=AD-BC.$$
   Тогда
   $$NM=\frac12(AD-BC).$$

Следовательно, отрезок, соединяющий середины оснований трапеции, равен половине их разности.

Ответ

$$MN=\frac12(AD-BC).$$