Упр.438 ГДЗ Атанасян 7-9 класс по геометрии (Геометрия)
- Докажите, что в неравнобедренном треугольнике основание биссектрисы треугольника лежит между основаниями медианы и высоты, проведённых из этой же вершины.
- В трапеции $$ABCD$$ с большим основанием $$AD$$ диагональ $$AC$$ перпендикулярна к боковой стороне $$CD$$, угол $$BAC = \angle CAD$$. Найдите $$AD$$, если периметр трапеции равен 20 см, а угол $$D = 60^\circ$$.
Так как $$BC \parallel AD,$$ то прямая $$AC$$ — секущая. Поэтому
$$\angle BCA=\angle CAD.$$
По условию $$\angle BAC=\angle CAD,$$ значит
$$\angle BAC=\angle BCA.$$
Следовательно, треугольник $$ABC$$ равнобедренный, и потому
$$AB=BC.$$
Рассмотрим треугольник $$ACD.$$ Так как $$AC\perp CD,$$ а $$\angle D=60^\circ,$$ то
$$\angle CAD=90^\circ-60^\circ=30^\circ.$$
Тогда в прямоугольном треугольнике $$ACD$$
$$CD=\frac12 AD.$$
Кроме того, из равенства углов $$\angle BAC=\angle CAD=30^\circ$$ получаем
$$\angle A=\angle BAC+\angle CAD=30^\circ+30^\circ=60^\circ.$$
Так как $$\angle A=\angle D=60^\circ,$$ то трапеция $$ABCD$$ равнобедренная, значит
$$AB=CD.$$
Теперь используем периметр:
$$P_{ABCD}=AB+BC+CD+AD=20.$$
С учётом $$AB=BC$$ и $$CD=\frac12 AD$$ имеем
$$2AB+\frac12 AD+AD=20.$$
Но в равнобедренной трапеции $$AB=CD=\frac12 AD,$$ значит
$$2\cdot \frac12 AD+\frac12 AD+AD=20,$$
$$\frac52 AD=20,$$
$$AD=8.$$
Ответ: $$8\text{ см}$$.
