Упр.435 ГДЗ Атанасян 7-9 класс по геометрии (Геометрия)

Рассмотрим вариант решения задания из учебника Атанасян, Бутузов 7 класс, Просвещение: в треугольнике ABC стороны АВ и АС не равны, отрезок AM соединяет вершину А с произвольной точкой М стороны ВС. Докажите, что треугольники АМВ и АМС не равны друг другу. Докажите, что середина отрезка, соединяющего вершину треугольника с любой точкой противоположной стороны, лежит на отрезке с концами в серединах двух других сторон.

1) Предположим, что $$\triangle AMB \cong \triangle AMC.$$

Тогда у этих треугольников соответствующие стороны равны, в частности

$$AB=AC.$$

Но по условию $$AB\ne AC.$$ Получили противоречие. Значит,

$$\triangle AMB \not\cong \triangle AMC.$$

2) Докажем второе утверждение.

Пусть $$K$$ — середина отрезка $$BD.$$ Через точку $$K$$ проведём прямую, параллельную $$AC$$. Она пересечёт $$AB$$ в точке $$M$$, а $$BC$$ — в точке $$N$$.

Так как $$K$$ — середина $$BD$$ и $$MN \parallel AC,$$ то по теореме Фалеса точка $$M$$ — середина $$AB$$, а точка $$N$$ — середина $$BC$$.

Следовательно, отрезок $$MN$$ соединяет середины двух сторон треугольника, а точка $$K$$ — середина отрезка $$BD$$ — лежит на этом отрезке. Значит, середина отрезка, соединяющего вершину треугольника с любой точкой противоположной стороны, лежит на отрезке с концами в серединах двух других сторон.

Ответ

$$\triangle AMB \not\cong \triangle AMC.$$ Середина отрезка, соединяющего вершину треугольника с точкой противоположной стороны, лежит на отрезке, соединяющем середины двух других сторон.