Упр.434 ГДЗ Атанасян 7-9 класс по геометрии (Геометрия)
- Две стороны треугольника не равны друг другу. Докажите, что медиана, проведённая из их общей вершины, составляет с меньшей из сторон больший угол.
- Докажите, что точка пересечения диагоналей ромба равноудалена от его сторон.
Пусть в треугольнике $$ABC$$ выполнено $$BC>AB$$, а $$BM$$ — медиана, то есть $$AM=MC$$. Докажем, что $$\angle ABM>\angle MBC$$.
Продолжим медиану $$BM$$ за точку $$M$$ и отложим на продолжении отрезок $$ME$$ так, что $$ME=BM$$.
Рассмотрим треугольники $$\triangle ABM$$ и $$\triangle EMC$$. В них:
- $$BM=ME$$ по построению;
- $$AM=MC$$, так как $$BM$$ — медиана;
- $$\angle AMB=\angle CME$$ как вертикальные.
Следовательно, $$\triangle ABM \cong \triangle EMC$$ по двум сторонам и углу между ними. Значит, $$AB=CE$$ и $$\angle ABM=\angle CEM$$.
Так как $$BC>AB$$, то из $$AB=CE$$ получаем $$BC>CE$$.
Теперь рассмотрим треугольник $$BCE$$. В нём сторона $$BC$$ лежит против угла $$\angle BEC$$, а сторона $$CE$$ — против угла $$\angle EBC$$. Поскольку $$BC>CE$$, то большему боку противолежит больший угол, значит
$$\angle BEC>\angle EBC.$$
Но точки $$B, M, E$$ лежат на одной прямой, поэтому $$\angle EBC=\angle MBC$$, а $$\angle BEC=\angle ABM$$. Тогда
$$\angle ABM>\angle MBC.$$
Что и требовалось доказать.
