Упр.433 ГДЗ Атанасян 7-9 класс по геометрии (Геометрия)

1. Докажите теорему: если в треугольнике биссектриса является медианой, то треугольник равнобедренный.
2. Из вершины $$B$$ ромба $$ABCD$$ проведены перпендикуляры $$BK$$ и $$BM$$ к прямым $$AD$$ и $$DC$$. Докажите, что луч $$BD$$ является биссектрисой угла $$KBM$$.

Рассмотрим ромб $$ABCD$$. Проведены перпендикуляры $$BK \perp AD$$ и $$BM \perp DC$$. Докажем, что луч $$BD$$ является биссектрисой угла $$KBM$$.

В ромбе все стороны равны, значит $$AB=BC$$. Кроме того, диагональ ромба $$BD$$ биссектрисa углов при вершинах $$B$$ и $$D$$, поэтому

$$\angle ABD=\angle DBC.$$

Рассмотрим прямоугольные треугольники $$\triangle ABK$$ и $$\triangle CBM$$.

У них:

• $$\angle AKB=\angle CMB=90^\circ$$,
• $$AB=BC$$,
• $$\angle ABK=\angle MBC$$, так как $$BD$$ делит угол $$B$$ пополам, а точки $$K$$ и $$M$$ лежат соответственно на прямых $$AD$$ и $$DC$$.

Следовательно, $$\triangle ABK \cong \triangle CBM$$ по гипотенузе и острому углу. Отсюда

$$BK=BM.$$

Теперь рассмотрим треугольники $$\triangle DBK$$ и $$\triangle DBM$$. В них:

• $$BD$$ — общая сторона,
• $$BK=BM$$,
• $$\angle DBK=\angle MBD$$, так как $$BD$$ — биссектриса угла $$B$$.

Значит, $$\triangle DBK \cong \triangle DBM$$ по двум сторонам и углу между ними. Поэтому

$$\angle KBD=\angle DBM.$$

Это и означает, что луч $$BD$$ является биссектрисой угла $$KBM$$.

Ответ

$$BD$$ — биссектриса угла $$KBM$$.