Упр.433 ГДЗ Атанасян 7-9 класс по геометрии (Геометрия)

Рассмотрим вариант решения задания из учебника Атанасян, Бутузов 7 класс, Просвещение: Докажите теорему: если в треугольнике биссектриса является медианой, то треугольник равнобедренный. Из вершины В ромба ABCD проведены перпендикуляры ВК и ВМ к прямым AD и DC. Докажите, что луч BD является биссектрисой угла КВМ.

1) Докажем сначала теорему: если в треугольнике биссектриса является медианой, то треугольник равнобедренный.

Пусть в треугольнике $$ABC$$ отрезок $$BM$$ — и биссектриса угла $$B$$, и медиана к стороне $$AC$$. Тогда $$AM=MC$$.

Так как $$BM$$ — биссектриса, то точка $$B$$ равноудалена от сторон угла $$A B C$$. А поскольку $$M$$ — середина $$AC$$, то в треугольниках $$ABM$$ и $$CBM$$:

$$AM=MC,$$
$$BM$$ — общий катет,
$$\angle AMB=\angle CMB=90^\circ.$$

Следовательно, $$\triangle ABM \cong \triangle CBM$$ по двум катетам. Отсюда

$$AB=BC.$$

Значит, треугольник $$ABC$$ равнобедренный.

2) Теперь решим задачу про ромб.

В ромбе $$ABCD$$ диагональ $$BD$$ является биссектрисой углов $$B$$ и $$D$$. Нужно доказать, что она делит пополам угол $$KBM$$.

Рассмотрим прямоугольные треугольники $$\triangle BDK$$ и $$\triangle BDM$$. Имеем:

$$BK \perp AD,\quad BM \perp DC,$$
а в ромбе $$AD \parallel BC$$ и $$DC \parallel AB$$, поэтому
$$\angle BKA=90^\circ,\quad \angle BMC=90^\circ.$$

Кроме того, в ромбе все стороны равны, значит

$$AB=BC.$$

Диагональ ромба $$BD$$ биссектрисa угла $$B$$, поэтому

$$\angle ABD=\angle DBC.$$

Тогда прямоугольные треугольники $$\triangle BKA$$ и $$\triangle BMC$$ равны по гипотенузе и острому углу, откуда

$$\angle KBA=\angle CBM.$$

Теперь найдём углы, образованные лучом $$BD$$:

$$\angle KBD=\angle KBA+\angle ABD,$$
$$\angle DBM=\angle DBC+\angle CBM.$$

Так как $$\angle ABD=\angle DBC$$ и $$\angle KBA=\angle CBM$$, то

$$\angle KBD=\angle DBM.$$

Следовательно, луч $$BD$$ является биссектрисой угла $$KBM$$.

Ответ

Если в треугольнике биссектриса является медианой, то треугольник равнобедренный. В ромбе $$ABCD$$ луч $$BD$$ является биссектрисой угла $$KBM$$.