Упр.432 ГДЗ Атанасян 7-9 класс по геометрии (Геометрия)

Задача

Рассмотрим вариант решения задания из учебника Атанасян, Бутузов 7 класс, Просвещение: В треугольнике ABC сторона АВ больше стороны АС, отрезок AD — биссектриса. Докажите, что угол ADB > угол ADC и BD > CD. Точки М и N — середины сторон AD и ВС параллелограмма ABCD. Докажите, что прямые AN и МС делят диагональ BD на три равные части.

Подробный ответ

1) Докажем, что $$\angle ADB > \angle ADC$$.

Построим на стороне $$AB$$ точку $$C_1$$ так, что $$AC_1=AC$$. Тогда в треугольниках $$\triangle AC_1D$$ и $$\triangle ADC$$ имеем:

$$AD$$ — общая сторона, $$AC_1=AC,$$

$$\angle C_1AD=\angle DAC,$$ так как $$AD$$ — биссектриса угла $$A$$.

Следовательно, $$\triangle AC_1D \cong \triangle ADC$$ по двум сторонам и углу между ними. Отсюда

$$C_1D=CD,$$

$$\angle ADC=\angle ADC_1.$$

Так как $$C_1 \in AB,$$ то луч $$AC_1$$ совпадает с лучом $$AB,$$ значит

$$\angle BC_1D=180^\circ-\angle AC_1D=180^\circ-\angle ACB+\angle BAC.$$

Но $$\angle ACB+\angle BAC=180^\circ-\angle ABC,$$ поэтому

$$\angle BC_1D=\angle ABC.$$

Точка $$C_1$$ лежит внутри угла $$\angle ADB,$$ значит

$$\angle ADC=\angle ADC_1<\angle ADB.$$

2) Докажем, что $$BD>CD$$.

В треугольнике $$\triangle BC_1D$$ угол $$\angle BC_1D$$ равен $$\angle ABC$$, а сторона $$BD$$ лежит против большего угла, чем сторона $$C_1D$$. Следовательно,

$$BD>C_1D.$$

Так как $$C_1D=CD,$$ получаем

$$BD>CD.$$

3) Докажем, что прямые $$AN$$ и $$MC$$ делят диагональ $$BD$$ на три равные части.

Пусть $$K=AN\cap BD,$$ $$E=CM\cap BD.$$

Так как $$M$$ и $$N$$ — середины сторон $$AD$$ и $$BC$$ параллелограмма $$ABCD,$$ то

$$AM=MD,\qquad BN=NC,$$

а также $$AB=CD,$$ $$AB\parallel CD,$$ $$AD\parallel BC.$$

Рассмотрим треугольники $$\triangle ABN$$ и $$\triangle CDM$$. Имеем:

$$BN=CM?$$

Нет, удобнее заметить, что

$$BN=NC,\qquad AM=MD,$$

а отрезки $$AN$$ и $$CM$$ соединяют середины противоположных сторон параллелограмма. Поэтому $$AN\parallel CM.$$

Теперь в четырёхугольнике $$ANCM$$ одна пара противоположных сторон параллельна и равна, значит $$ANCM$$ — параллелограмм. Следовательно, $$AN\parallel CM.$$

Рассмотрим треугольник $$\triangle BDM$$. Прямая $$AN$$ проходит через середину стороны $$AD$$ и параллельна $$CM,$$ а значит, по теореме Фалеса, точка $$K$$ делит $$BD$$ в отношении

$$BK:KD=1:2.$$

Аналогично для прямой $$CM$$ получаем, что точка $$E$$ делит $$BD$$ в отношении

$$BE:ED=2:1.$$

Следовательно, на диагонали $$BD$$ точки $$K$$ и $$E$$ расположены так, что

$$BK=KE=ED.$$

Значит, прямые $$AN$$ и $$MC$$ делят диагональ $$BD$$ на три равные части.