Упр.432 ГДЗ Атанасян 7-9 класс по геометрии (Геометрия)

1. В треугольнике $$ABC$$ сторона $$AB$$ больше стороны $$AC$$, отрезок $$AD$$ — биссектриса. Докажите, что $$\angle ADB > \angle ADC$$ и $$BD > CD$$.
2. Точки $$M$$ и $$N$$ — середины сторон $$AD$$ и $$BC$$ параллелограмма $$ABCD$$. Докажите, что прямые $$AN$$ и $$MC$$ делят диагональ $$BD$$ на три равные части.

1) Если дано: $$AB>AC,$$ а $$AD$$ — биссектриса угла $$A,$$ то проведём на стороне $$AB$$ точку $$C_1$$ так, что $$AC_1=AC.$$

Рассмотрим треугольники $$\triangle AC_1D$$ и $$\triangle ADC.$$

Имеем:

$$AD=AD,$$

$$AC_1=AC,$$

$$\angle C_1AD=\angle DAC,$$

так как $$AD$$ — биссектриса.

Следовательно, $$\triangle AC_1D \cong \triangle ADC$$ по двум сторонам и углу между ними. Отсюда

$$C_1D=CD,$$

$$\angle ADC=\angle ADC_1.$$

Так как точка $$C_1$$ лежит на стороне $$AB,$$ то луч $$AC_1$$ совпадает с лучом $$AB,$$ значит

$$\angle ADC_1<\angle ADB,$$

следовательно,

$$\angle ADB>\angle ADC.$$

Теперь рассмотрим треугольник $$\triangle BC_1D.$$

Угол при вершине $$C_1$$ равен

$$\angle BC_1D=180^\circ-\angle AC_1D.$$

Но $$\angle AC_1D=\angle ACB$$, а так как $$AC_1=AC,$$ то в треугольнике $$ABC$$ большему боку $$AB$$ противолежит больший угол, значит

$$\angle ABC>\angle ACB.$$

Следовательно,

$$\angle BC_1D>\angle ABC.$$

В треугольнике большему углу противолежит большая сторона, поэтому

$$BD>BC_1.$$

А так как $$BC_1=CD,$$ то получаем

$$BD>CD.$$

Ответ

$$\angle ADB>\angle ADC,\qquad BD>CD.$$