Упр.431 ГДЗ Атанасян 7-9 класс по геометрии (Геометрия)

1. Внутри треугольника $$ABC$$ взята такая точка $$D$$, что $$AD=AB$$. Докажите, что $$AC>AB$$.
2. Точка $$K$$ — середина медианы $$AM$$ треугольника $$ABC$$. Прямая $$BK$$ пересекает сторону $$AC$$ в точке $$D$$. Докажите, что $$AD=\frac{1}{3}AC$$.

Пусть $$M$$ — середина стороны $$BC$$, а $$K$$ — середина медианы $$AM$$. Проведём через точку $$K$$ прямую, параллельную $$BD$$, и обозначим точку её пересечения с $$AC$$ через $$F$$.

Тогда в треугольнике $$ABD$$ прямая $$KF$$, параллельная $$BD$$, пересекает стороны $$AD$$ и $$AB$$ в точках $$F$$ и $$K$$. По теореме Фалеса получаем

$$\frac{AF}{FD}=\frac{AK}{KM}.$$

Так как $$K$$ — середина медианы $$AM$$, то $$AK=KM$$, значит $$AF=FD$$.

Теперь рассмотрим треугольник $$ABC$$. Поскольку $$M$$ — середина $$BC$$, а $$K$$ — середина $$AM$$, то по теореме Фалеса в треугольнике $$ABC$$ имеем

$$\frac{AF}{FC}=\frac{AK}{KM}=1,$$

следовательно, $$AF=FC$$.

Из равенств $$AF=FD$$ и $$AF=FC$$ получаем

$$AD=AF+FD=2AF,$$

$$AC=AF+FC=2AF+AF=3AF.$$

Значит,

$$AD=\frac{2}{3}AC.$$

Ответ: $$AD=\frac{2}{3}AC$$.