Упр.430 ГДЗ Атанасян 7-9 класс по геометрии (Геометрия)
- Отрезок $$BB_1$$ — биссектриса треугольника $$ABC$$. Докажите, что $$BA > B_1A$$ и $$BC > B_1C$$.
- Докажите, что выпуклый четырёхугольник является параллелограммом, если его противоположные углы попарно равны.
Пусть $$BB_1$$ — биссектриса угла $$ABC$$, а точка $$B_1$$ лежит на стороне $$AC$$.
Тогда
$$\angle ABB_1=\angle B_1BC$$
как углы, образованные биссектрисой.
Рассмотрим треугольник $$ABB_1$$. В нём угол $$\angle BB_1A$$ — внешний при вершине $$B_1$$, поэтому
$$\angle BB_1A=\angle ABB_1+\angle B_1AB.$$
Следовательно, $$\angle BB_1A>\angle ABB_1$$. В треугольнике против большего угла лежит большая сторона, значит
$$AB>AB_1.$$
Теперь рассмотрим треугольник $$CBB_1$$. В нём угол $$\angle BB_1C$$ — внешний при вершине $$B_1$$, поэтому
$$\angle BB_1C=\angle BCB_1+\angle B_1BC.$$
Отсюда $$\angle BB_1C>\angle B_1BC$$. Значит, в треугольнике $$CBB_1$$ против большего угла лежит большая сторона, то есть
$$BC>CB_1.$$
Итак,
$$AB>AB_1,\qquad BC>BC_1.$$
Ответ
$$AB>AB_1,\quad BC>BC_1.$$
