Упр.429 ГДЗ Атанасян 7-9 класс по геометрии (Геометрия)

Рассмотрим вариант решения задания из учебника Атанасян, Бутузов 7 класс, Просвещение: Докажите, что любой отрезок с концами на разных сторонах треугольника не больше наибольшей из сторон треугольника. Докажите, что выпуклый четырёхугольник является параллелограммом, если сумма углов, прилежащих к каждой из двух смежных сторон, равна 180°.

Пусть $$ABC$$ — треугольник, $$AB$$ — его наибольшая сторона, а $$DE$$ — любой отрезок с концами на разных сторонах треугольника. Докажем, что $$DE<AB$$.

Рассмотрим возможные случаи.

1) Один из концов отрезка $$DE$$ лежит на стороне $$AB$$. Тогда другой конец лежит на одной из двух других сторон треугольника. Если отрезок соединяет вершину треугольника с точкой на противоположной стороне, то он меньше большей из двух других сторон треугольника. Значит, в любом случае

$$DE<AB.$$

2) Ни один из концов отрезка $$DE$$ не лежит на стороне $$AB$$. Тогда оба конца отрезка лежат на сторонах $$AC$$ и $$BC$$. Пусть, например, $$D\in AC$$, $$E\in BC$$. Тогда

$$DE\leqslant DC \quad \text{или} \quad DE\leqslant CE.$$

Но так как $$AB$$ — наибольшая сторона треугольника, то

$$AC<AB,\qquad BC<AB.$$

Следовательно, и в этом случае

$$DE<AB.$$

Итак, любой отрезок с концами на разных сторонах треугольника меньше наибольшей стороны треугольника.

Теперь докажем второе утверждение.

Пусть $$ABCD$$ — выпуклый четырёхугольник и

$$\angle A+\angle B=180^\circ,\qquad \angle B+\angle C=180^\circ.$$

Из равенства $$\angle A+\angle B=180^\circ$$ следует, что внутренние односторонние углы при прямых $$AD$$ и $$BC$$ в пересечении их секущей $$AB$$ дополняют друг друга до $$180^\circ$$. Значит,

$$AD\parallel BC.$$

Аналогично из равенства $$\angle B+\angle C=180^\circ$$ получаем

$$AB\parallel CD.$$

Итак, обе пары противоположных сторон четырёхугольника параллельны, следовательно, $$ABCD$$ — параллелограмм.

Ответ: любой такой отрезок меньше наибольшей стороны треугольника; $$ABCD$$ — параллелограмм.