Упр.429 ГДЗ Атанасян 7-9 класс по геометрии (Геометрия)

1. Докажите, что любой отрезок с концами на разных сторонах треугольника не больше наибольшей из сторон треугольника.
2. Докажите, что выпуклый четырёхугольник является параллелограммом, если сумма углов, прилежащих к каждой из двух смежных сторон, равна 180°.

Рассмотрим выпуклый четырёхугольник $$ABCD$$, в котором сумма углов, прилежащих к стороне $$AB$$, равна $$180^\circ$$, то есть

$$\angle A+\angle B=180^\circ.$$

Тогда углы $$\angle A$$ и $$\angle B$$ — односторонние при секущей $$AB$$ и прямых $$AD$$ и $$BC$$, значит

$$AD \parallel BC.$$

Аналогично, если сумма углов, прилежащих к стороне $$BC$$, равна $$180^\circ$$, то

$$\angle B+\angle C=180^\circ,$$

следовательно, углы $$\angle B$$ и $$\angle C$$ — односторонние при секущей $$BC$$ и прямых $$AB$$ и $$CD$$, значит

$$AB \parallel CD.$$

Итак, в четырёхугольнике $$ABCD$$ обе пары противоположных сторон параллельны:

$$AD \parallel BC,\qquad AB \parallel CD.$$

По определению, $$ABCD$$ — параллелограмм.

Ответ

$$ABCD$$ — параллелограмм.