Упр.428 ГДЗ Атанасян 7-9 класс по геометрии (Геометрия)

1. Внутри равнобедренного треугольника $$ABC$$ с основанием $$BC$$ взята такая точка $$M$$, что $$\angle MBC=30^\circ$$, $$\angle MCB=10^\circ$$. Найдите угол $$AMC$$, если $$\angle BAC=80^\circ$$.
2. В параллелограмме, смежные стороны которого не равны, проведены биссектрисы углов. Докажите, что при их пересечении образуется прямоугольник.

Пусть $$\angle ABC=\angle ACB=x.$$ Тогда из суммы углов треугольника $$ABC$$ получаем

$$x+x+80^\circ=180^\circ,$$

откуда

$$2x=100^\circ,\qquad x=50^\circ.$$

Значит, $$\angle MBC=30^\circ$$ и $$\angle MCB=10^\circ$$, поэтому в треугольнике $$MBC$$

$$\angle BMC=180^\circ-30^\circ-10^\circ=140^\circ.$$

Теперь рассмотрим треугольник $$AMC$$. Так как $$ABC$$ равнобедренный с основанием $$BC$$, то $$AB=AC$$. Кроме того, точки $$M$$ и $$C$$ лежат по одну сторону от прямой $$AB$$, а точки $$M$$ и $$B$$ — по одну сторону от прямой $$AC$$, поэтому

$$\angle ACM=\angle ACB-\angle MCB=50^\circ-10^\circ=40^\circ,$$

$$\angle CAM=\angle BAC-\angle BAM.$$

Но $$\angle BAM=\angle ABC-\angle MBC=50^\circ-30^\circ=20^\circ,$$ значит

$$\angle CAM=80^\circ-20^\circ=60^\circ.$$

Тогда

$$\angle AMC=180^\circ-40^\circ-60^\circ=80^\circ.$$

Ответ: $$80^\circ$$.