Упр.427 ГДЗ Атанасян 7-9 класс по геометрии (Геометрия)

1. Докажите, что угол треугольника является острым, прямым или тупым, если медиана, проведённая из вершины этого угла, соответственно больше, равна или меньше половины противоположной стороны.
2. Через произвольную точку основания равнобедренного треугольника проведены прямые, параллельные боковым сторонам треугольника. Докажите, что периметр получившегося четырёхугольника равен сумме боковых сторон данного треугольника.

Рассмотрим три случая.

а) Если медиана больше половины противоположной стороны

Пусть в треугольнике $$ABC$$ медиана $$AM$$ проведена к стороне $$BC$$ и $$AM>\frac12 BC$$.

Так как $$M$$ — середина $$BC$$, то $$BM=MC=\frac12 BC$$, значит $$AM>BM$$ и $$AM>MC$$.

В треугольнике $$ABM$$ против большей стороны $$AM$$ лежит больший угол, поэтому $$\angle ABM>\angle BAM$$.

В треугольнике $$ACM$$ против большей стороны $$AM$$ лежит больший угол, поэтому $$\angle ACM>\angle MAC$$.

Складывая эти неравенства, получаем:

$$\angle ABM+\angle ACM>\angle BAM+\angle MAC.$$

Но $$\angle ABM+\angle ACM=\angle B+\angle C$$, а $$\angle BAM+\angle MAC=\angle A$$. Тогда

$$\angle B+\angle C>\angle A.$$

Так как $$\angle A+\angle B+\angle C=180^\circ$$, то

$$180^\circ-\angle A>\angle A,$$

откуда

$$2\angle A<180^\circ,\qquad \angle A<90^\circ.$$

Следовательно, угол $$A$$ острый.

б) Если медиана равна половине противоположной стороны

Пусть $$AM=\frac12 BC$$. Тогда, поскольку $$M$$ — середина $$BC$$, имеем

$$BM=MC=AM.$$

Значит, треугольники $$ABM$$ и $$ACM$$ равнобедренные, поэтому

$$\angle B=\angle BAM,\qquad \angle C=\angle MAC.$$

Тогда

$$\angle B+\angle C=\angle BAM+\angle MAC=\angle A.$$

Из суммы углов треугольника:

$$\angle A+\angle B+\angle C=180^\circ,$$

получаем

$$\angle A+\angle A=180^\circ,$$

то есть

$$\angle A=90^\circ.$$

Следовательно, угол $$A$$ прямой.

в) Если медиана меньше половины противоположной стороны

Пусть $$AM<\frac12 BC$$. Тогда $$AM<BM$$ и $$AM<MC$$.

В треугольнике $$ABM$$ против большей стороны $$BM$$ лежит больший угол, значит

$$\angle BAM>\angle ABM.$$

В треугольнике $$ACM$$ против большей стороны $$MC$$ лежит больший угол, значит

$$\angle MAC>\angle ACM.$$

Складывая, получаем:

$$\angle BAM+\angle MAC>\angle ABM+\angle ACM.$$

То есть

$$\angle A>\angle B+\angle C.$$

Но $$\angle A+\angle B+\angle C=180^\circ$$, значит

$$\angle A>180^\circ-\angle A,$$

откуда

$$2\angle A>180^\circ,\qquad \angle A>90^\circ.$$

Следовательно, угол $$A$$ тупой.

Итак: если медиана из вершины угла больше половины противоположной стороны, то угол острый; если равна — прямой; если меньше — тупой.