Упр.427 ГДЗ Атанасян 7-9 класс по геометрии (Геометрия)

Задача

Рассмотрим вариант решения задания из учебника Атанасян, Бутузов 7 класс, Просвещение: Докажите, что угол треугольника является острым, прямым или тупым, если медиана, проведённая из вершины этого угла, соответственно больше, равна или меньше половины противоположной стороны. Через произвольную точку основания равнобедренного треугольника проведены прямые, параллельные боковым сторонам треугольника. Докажите, что периметр получившегося четырёхугольника равен сумме боковых сторон данного треугольника.

Подробный ответ

а) Пусть в треугольнике $$ABC$$ проведена медиана $$AM$$, причём $$AM>\frac12 BC$$. Докажем, что $$\angle A<90^\circ$$.

Рассмотрим треугольники $$ABM$$ и $$ACM$$. Так как $$AM$$ — медиана, то $$BM=MC$$. По условию $$AM>\frac12 BC$$, значит $$2AM>BC$$, то есть $$AM>BM=MC$$.

В треугольнике против большей стороны лежит больший угол, поэтому

$$\angle BAM>\angle ABM,$$

$$\angle MAC>\angle ACM.$$

Сложим эти неравенства:

$$\angle BAM+\angle MAC>\angle ABM+\angle ACM.$$

Но $$\angle BAM+\angle MAC=\angle A,$$ а $$\angle ABM+\angle ACM=\angle B+\angle C=180^\circ-\angle A.$$ Тогда

$$\angle A>180^\circ-\angle A,$$

откуда

$$2\angle A>180^\circ,\qquad \angle A>90^\circ.$$

Значит, при $$AM>\frac12 BC$$ угол $$A$$ тупой.

Аналогично:

если $$AM=\frac12 BC$$, то $$BM=MC=AM$$, следовательно, треугольники $$ABM$$ и $$ACM$$ равнобедренные, и получается $$\angle A=90^\circ$$;
если $$AM<\frac12 BC$$, то $$AM<BM=MC$$, поэтому $$\angle BAM<\angle ABM$$ и $$\angle MAC<\angle ACM$$, откуда $$\angle A<90^\circ$$.

б) Пусть $$ABC$$ — равнобедренный треугольник, $$AB=BC$$, точка $$D$$ лежит на $$AC$$, через неё проведены прямые $$ED\parallel BC$$ и $$DF\parallel AB$$. Докажем, что периметр четырёхугольника $$BFDE$$ равен $$AB+BC$$.

Так как $$AB=BC$$, то $$\angle A=\angle C$$.

Из параллельности $$DF\parallel AB$$ и $$ED\parallel BC$$ получаем:

$$\angle FDC=\angle A,$$

$$\angle EDA=\angle C.$$

Следовательно, треугольники $$DFC$$ и $$AED$$ равнобедренные, поэтому

$$FD=FC,\qquad ED=AE.$$

Кроме того, $$BFDE$$ — параллелограмм, так как $$BF\parallel ED$$ и $$FD\parallel BE$$. Значит,

$$BF=ED,\qquad BE=FD.$$

Тогда периметр четырёхугольника $$BFDE$$ равен

$$P_{BFDE}=BF+FD+DE+EB=2BF+2FD.$$

С другой стороны, из равенств $$BF=ED$$ и $$FD=BE$$, а также из равенств отрезков на сторонах треугольника получаем

$$AB=AE+EB,\qquad BC=BF+FC.$$