Упр.425 ГДЗ Атанасян 7-9 класс по геометрии (Геометрия)
- Через каждую вершину данного треугольника проведена прямая, перпендикулярная к биссектрисе треугольника, исходящей из этой вершины. Отрезки этих прямых вместе со сторонами данного треугольника образуют три треугольника. Докажите, что углы этих треугольников соответственно равны.
- Периметр параллелограмма $$ABCD$$ равен $$46\text{ см}$$, $$AB=14\text{ см}$$. Какую сторону параллелограмма пересекает биссектриса угла $$A$$? Найдите отрезки, которые образуются при этом пересечении.
Пусть биссектрисы углов треугольника $$ABC$$ пересекают стороны $$BC,\,CA,\,AB$$ в точках $$M_1,\,M_2,\,M_3$$ соответственно. Через вершины $$A,\,B,\,C$$ проведены прямые, перпендикулярные к этим биссектрисам.
Обозначим точки пересечения этих прямых так, как на рисунке: через $$A$$ и $$C$$ проведены прямые, перпендикулярные к биссектрисам из $$A$$ и $$C$$, а через $$B$$ — перпендикулярная к биссектрисе из $$B$$.
Докажем равенство углов получившихся треугольников.
Так как $$AM_1$$ — биссектриса угла $$A$$, то
$$\angle BAM_1=\frac12\angle BAC.$$
Поскольку прямая через $$A$$ перпендикулярна $$AM_1$$, получаем
$$\angle CAR=90^\circ-\frac12\angle BAC.$$
Аналогично, так как $$CM_3$$ — биссектриса угла $$C$$, то
$$\angle ACR=90^\circ-\frac12\angle BCA.$$
Теперь найдём третий угол треугольника $$ARC$$:
$$\angle CRA=180^\circ-\angle CAR-\angle ACR$$
$$=180^\circ-\left(90^\circ-\frac12\angle BAC\right)-\left(90^\circ-\frac12\angle BCA\right) =\frac12(\angle BAC+\angle BCA).$$
Так как $$\angle BAC+\angle BCA=180^\circ-\angle ABC$$, то
$$\angle CRA=90^\circ-\frac12\angle ABC.$$
Аналогично для треугольника $$AQB$$:
$$\angle QAB=90^\circ-\frac12\angle BAC,$$
$$\angle QBA=90^\circ-\frac12\angle ABC,$$
$$\angle AQB=180^\circ-\angle QAB-\angle QBA =90^\circ-\frac12\angle ACB.$$
И для треугольника $$BPC$$:
$$\angle PBC=90^\circ-\frac12\angle ABC,$$
$$\angle PCB=90^\circ-\frac12\angle BCA,$$
$$\angle BPC=180^\circ-\angle PBC-\angle PCB =90^\circ-\frac12\angle BAC.$$
Следовательно, у треугольников $$AQB$$, $$BPC$$ и $$ARC$$ соответственно равны все углы:
$$\angle AQB=\angle BPC=\angle CRA,$$
$$\angle QAB=\angle PBC=\angle CAR,$$
$$\angle QBA=\angle PCB=\angle ACR.$$
Значит, эти треугольники попарно подобны, что и требовалось доказать.
