Упр.424 ГДЗ Атанасян 7-9 класс по геометрии (Геометрия)
- Прямые, содержащие биссектрисы внешних углов при вершинах B и C треугольника ABC, пересекаются в точке O. Найдите угол BOC, если угол A равен $$a$$.
- Докажите, что если не все углы выпуклого четырёхугольника равны друг другу, то хотя бы один из них тупой.
Обозначим через $$\angle 1$$ и $$\angle 2$$ углы, на которые внешний угол при вершине $$B$$ разбивается биссектрисой $$BO$$, а через $$\angle 4$$ и $$\angle 5$$ — углы, на которые внешний угол при вершине $$C$$ разбивается биссектрисой $$CO$$.
Так как $$BO$$ и $$CO$$ — биссектрисы внешних углов, то
$$\angle 1=\angle 2,\qquad \angle 4=\angle 5.$$
Обозначим $$\angle BOC$$ через $$x$$. Тогда по свойству вертикальных углов
$$\angle 1=\angle 3,\qquad \angle 5=\angle 6.$$
Пусть сумма внешних углов при вершинах $$B$$ и $$C$$ равна $$\beta$$ и $$\gamma$$ соответственно. Тогда
$$\angle 1+\angle 2=\beta,\qquad \angle 4+\angle 5=\gamma.$$
Поскольку $$BO$$ и $$CO$$ — биссектрисы, получаем
$$\angle 1=\frac{\beta}{2},\qquad \angle 5=\frac{\gamma}{2}.$$
В треугольнике $$ABC$$ сумма углов равна $$180^\circ$$:
$$\angle A+\angle B+\angle C=180^\circ.$$
Внешние углы при вершинах $$B$$ и $$C$$ дополняют внутренние углы до $$180^\circ$$, значит
$$\angle B=180^\circ-\beta,\qquad \angle C=180^\circ-\gamma.$$
Тогда
$$\angle A+\bigl(180^\circ-\beta\bigr)+\bigl(180^\circ-\gamma\bigr)=180^\circ,$$
откуда
$$\beta+\gamma=\angle A+180^\circ.$$
Теперь рассмотрим треугольник $$BOC$$. В нём
$$x+\angle 3+\angle 6=180^\circ.$$
Так как $$\angle 3=\dfrac{\beta}{2}$$ и $$\angle 6=\dfrac{\gamma}{2},$$ то
$$x=180^\circ-\frac{\beta}{2}-\frac{\gamma}{2}=180^\circ-\frac{\beta+\gamma}{2}.$$
Подставим найденное значение $$\beta+\gamma$$:
$$x=180^\circ-\frac{\angle A+180^\circ}{2}=90^\circ-\frac{\angle A}{2}.$$
Следовательно,
$$\angle BOC=90^\circ-\frac{1}{2}\angle A$$.
Ответ
$$\angle BOC=90^\circ-\frac{1}{2}\angle A$$
