Упр.423 ГДЗ Атанасян 7-9 класс по геометрии (Геометрия)

Рассмотрим вариант решения задания из учебника Атанасян, Бутузов 7 класс, Просвещение: Отрезки АВ и CD пересекаются в точке О. Докажите, что ОС = OD, если АС = АО = ВО = BD. Какие из следующих букв имеют центр симметрии: А, О, М, X, К?

Рассмотрим треугольники $$ACO$$ и $$BOD$$.

Так как прямые $$AB$$ и $$CD$$ пересекаются в точке $$O$$, то $$\angle COA = \angle BOD$$ как вертикальные углы.

По условию $$AC = AO$$, значит треугольник $$ACO$$ равнобедренный, поэтому $$\angle ACO = \angle COA$$.

Также $$BD = BO$$, значит треугольник $$BOD$$ равнобедренный, поэтому $$\angle BDO = \angle BOD$$.

Из равенств $$\angle ACO = \angle COA$$, $$\angle BDO = \angle BOD$$ и $$\angle COA = \angle BOD$$ получаем:

$$\angle ACO = \angle BDO.$$

Теперь найдём углы при вершинах $$A$$ и $$B$$:

$$\angle A = 180^\circ — \angle ACO — \angle COA,$$

$$\angle B = 180^\circ — \angle BDO — \angle BOD.$$

Так как $$\angle ACO = \angle BDO$$ и $$\angle COA = \angle BOD$$, то $$\angle A = \angle B$$.

Рассмотрим треугольники $$ACO$$ и $$BOD$$. У них:

• $$\angle A = \angle B$$,
• $$AO = BO$$,
• $$\angle COA = \angle BOD$$.

Следовательно, $$\triangle ACO = \triangle BOD$$ по стороне и двум прилежащим углам. Отсюда соответствующие стороны равны:

$$OC = OD.$$

Что и требовалось доказать.

Центр симметрии имеют буквы $$O$$ и $$X$$.

Ответ

$$OC = OD$$; центр симметрии имеют буквы $$O$$ и $$X$$.