Упр.423 ГДЗ Атанасян 7-9 класс по геометрии (Геометрия)
- Отрезки $$AB$$ и $$CD$$ пересекаются в точке $$O$$. Докажите, что $$OC = OD$$, если $$AC = AO = BO = BD$$.
- Какие из следующих букв имеют центр симметрии: А, О, М, X, К?
Рассмотрим треугольники $$ACO$$ и $$BOD$$.
Так как прямые $$AB$$ и $$CD$$ пересекаются в точке $$O$$, то $$\angle COA = \angle BOD$$ как вертикальные углы.
По условию $$AC = AO$$, значит треугольник $$ACO$$ равнобедренный, поэтому $$\angle ACO = \angle COA$$.
Также $$BD = BO$$, значит треугольник $$BOD$$ равнобедренный, поэтому $$\angle BDO = \angle BOD$$.
Из равенств $$\angle ACO = \angle COA$$, $$\angle COA = \angle BOD$$ и $$\angle BOD = \angle BDO$$ получаем:
$$\angle ACO = \angle BDO.$$
Кроме того, в равнобедренных треугольниках $$ACO$$ и $$BOD$$ имеем:
$$\angle CAO = \angle ACO,\qquad \angle OBD = \angle BDO.$$
Тогда
$$\angle CAO = \angle OBD.$$
Следовательно, треугольники $$ACO$$ и $$BOD$$ равны по стороне и двум прилежащим к ней углам:
$$AO = BO,\quad AC = BD,\quad \angle CAO = \angle OBD.$$
Отсюда соответствующие стороны равных треугольников равны, значит
$$OC = OD.$$
Ответ: $$OC = OD.$$
