Упр.420 ГДЗ Атанасян 7-9 класс по геометрии (Геометрия)

1. Докажите, что если угол, прилежащая к нему сторона и сумма двух других сторон одного треугольника соответственно равны углу, прилежащей к нему стороне и сумме двух других сторон другого треугольника, то такие треугольники равны.
2. Докажите, что прямая, содержащая биссектрису равнобедренного треугольника, проведённую к основанию, является осью симметрии треугольника.

Пусть в равнобедренном треугольнике $$ABC$$ $$AB=BC$$, а $$BH$$ — биссектриса угла $$B$$, проведённая к основанию $$AC$$.

Рассмотрим треугольники $$ABH$$ и $$HBC$$.

У них:

• $$AB=BC$$;
• $$BH$$ — общая сторона;
• $$\angle ABH=\angle HBC$$, так как $$BH$$ — биссектриса угла $$B$$.

Следовательно, $$\triangle ABH \cong \triangle HBC$$ по двум сторонам и углу между ними.

Отсюда $$AH=HC$$ и $$\angle AHB=\angle BHC$$. Но эти углы смежные, значит каждый из них равен $$90^\circ$$. Следовательно, прямая $$BH$$ перпендикулярна основанию $$AC$$ и делит его пополам.

Итак, прямая, содержащая биссектрису $$BH$$, является серединным перпендикуляром к отрезку $$AC$$. А серединный перпендикуляр является осью симметрии треугольника.

Ответ: прямая, содержащая биссектрису равнобедренного треугольника, проведённую к основанию, является осью симметрии треугольника.