Упр.418 ГДЗ Атанасян 7-9 класс по геометрии (Геометрия)

Задача

Рассмотрим вариант решения задания из учебника Атанасян, Бутузов 7 класс, Просвещение: Даны шесть точек. Известно, что прямая, проходящая через любые две точки, содержит по крайней мере ещё одну из данных точек. Докажите, что все эти точки лежат на одной прямой. Какие из следующих букв имеют ось симметрии: А, Б, Г, Е О, F?

Подробный ответ

Рассмотрим любые три точки из шести. По условию прямая, проходящая через любые две точки, содержит ещё хотя бы одну из данных точек. Значит, если бы среди шести точек нашлись точки, не лежащие на одной прямой, то можно было бы выбрать две точки на разных прямых, и прямая через них не могла бы содержать третью точку из этой тройки.

Покажем это подробнее. Предположим, что все шесть точек не лежат на одной прямой. Тогда среди них можно выбрать три точки, лежащие на одной прямой, и ещё три точки, лежащие на другой прямой. Обозначим их так: $$O_1, O_2, O_3$$ лежат на прямой 1, а $$O_4, O_5, O_6$$ — на прямой 2.

Возьмём точку из первой прямой и точку из второй прямой. Прямая, проходящая через эти две точки, не совпадает ни с прямой 1, ни с прямой 2, поэтому на ней могут лежать только эти две выбранные точки. Но по условию такая прямая должна содержать ещё хотя бы одну из данных точек. Получаем противоречие.

Следовательно, все шесть точек лежат на одной прямой.

Ось симметрии имеют буквы $$A$$, $$E$$ и $$O$$. У буквы $$A$$ ось симметрии вертикальная, у буквы $$E$$ — горизонтальная, у буквы $$O$$ — вертикальная и горизонтальная оси симметрии.