Упр.418 ГДЗ Атанасян 7-9 класс по геометрии (Геометрия)
- Задание учебника 2025 года. Даны шесть точек. Известно, что прямая, проходящая через любые две точки, содержит по крайней мере ещё одну из данных точек. Докажите, что все эти точки лежат на одной прямой.
- Задание учебника 2023 года. Какие из следующих букв имеют ось симметрии: А, Б, Г, Е, О, F?
Рассмотрим шесть точек. По условию прямая, проходящая через любые две из них, содержит ещё хотя бы одну из данных точек.
Предположим, что все шесть точек не лежат на одной прямой. Тогда среди них можно выбрать три точки, лежащие на одной прямой, и ещё три точки, лежащие на другой прямой.
Обозначим эти прямые через $$1$$ и $$2$$. Пусть точки $$O_1, O_2, O_3$$ лежат на прямой $$1$$, а точки $$O_4, O_5, O_6$$ — на прямой $$2$$.
Тогда прямая, проходящая через любую точку с прямой $$1$$ и любую точку с прямой $$2$$, не может содержать третью из данных точек: на каждой из этих прямых уже лежат только по три точки, а прямая, соединяющая точки с разных прямых, в общем случае пересечёт каждую из них только в одной точке. Значит, такая прямая содержала бы лишь две данные точки, что противоречит условию.
Следовательно, наше предположение неверно. Значит, все шесть точек лежат на одной прямой.
Ответ
Все шесть точек лежат на одной прямой.
