Упр.413 ГДЗ Атанасян 7-9 класс по геометрии (Геометрия)

Задача

Рассмотрим вариант решения задания из учебника Атанасян, Бутузов 7 класс, Просвещение: Пусть а — число, выражающее длину отрезка АВ при единице измерения CD, а b — число, выражающее длину отрезка CD при единице измерения АВ. Как связаны между собой числа а и b? Постройте прямоугольник: а) по двум смежным сторонам; б) по стороне и диагонали; в) по диагонали и углу между диагоналями.

Подробный ответ

Пусть $$a$$ — число, выражающее длину отрезка $$AB$$ при единице измерения $$CD$$, а $$b$$ — число, выражающее длину отрезка $$CD$$ при единице измерения $$AB$$.

Тогда

$$AB=a\cdot CD,$$

значит

$$a=\frac{AB}{CD}.$$

Аналогично

$$CD=b\cdot AB,$$

значит

$$b=\frac{CD}{AB}.$$

Перемножим полученные равенства:

$$ab=\frac{AB}{CD}\cdot\frac{CD}{AB}=1.$$

Следовательно,

$$a=\frac{1}{b}.$$

Значения $$a$$ и $$b$$ обратно пропорциональны.

Построение прямоугольника.

а) По двум смежным сторонам. Построим прямую $$a$$ и отметим на ней точку $$A$$. Отложим от $$A$$ отрезок $$AB$$, равный одной из данных сторон. В точке $$A$$ восстановим перпендикуляр к прямой $$a$$ и отложим на нём отрезок $$AD$$, равный другой стороне. Через точки $$B$$ и $$D$$ проведём прямые, параллельные соответственно $$AD$$ и $$AB$$. Их пересечение обозначим через $$C$$. Тогда $$ABCD$$ — искомый прямоугольник.

б) По стороне и диагонали. Построим отрезок $$AB$$, равный данной стороне. В точке $$A$$ восстановим перпендикуляр к $$AB$$. С центром в точке $$B$$ и радиусом, равным диагонали, проведём окружность. Пусть она пересечёт перпендикуляр в точке $$D$$. Через $$D$$ проведём прямую, параллельную $$AB$$, а через $$B$$ — прямую, параллельную $$AD$$. Их пересечение обозначим через $$C$$. Тогда $$ABCD$$ — искомый прямоугольник.

в) По диагонали и углу между диагоналями. Построим отрезок $$AC$$, равный данной диагонали. Найдём его середину $$O$$. Через точку $$O$$ проведём прямую так, чтобы угол между этой прямой и $$AC$$ был равен данному углу между диагоналями; на этой прямой отметим точки $$B$$ и $$D$$ на равных расстояниях от $$O$$ по разные стороны. Тогда $$O$$ — середина обеих диагоналей, а диагонали пересекаются под данным углом. Соединим точки $$A, B, C, D$$. Получим прямоугольник $$ABCD$$.