Упр.412 ГДЗ Атанасян 7-9 класс по геометрии (Геометрия)

• Постройте оси симметрии двух пересекающихся прямых.
• Даны равнобедренный прямоугольный треугольник $$ABC$$ с прямым углом $$C$$, катетом $$AC=12\text{ см}$$ и квадрат $$CDEF$$, такой, что две его стороны лежат на катетах, а вершина $$E$$ — на гипотенузе треугольника. Найдите периметр квадрата.

Так как треугольник $$ABC$$ равнобедренный и прямоугольный, то $$AC=CB=12\text{ см}$$, а $$\angle A=\angle B=45^\circ$$.

Пусть сторона квадрата $$CDEF$$ равна $$x$$. Тогда

$$CD=DE=EF=CF=x.$$

Рассмотрим треугольник $$ADE$$. Угол между прямой $$AB$$ и катетом $$AC$$ равен $$45^\circ$$, значит $$\angle DAE=45^\circ$$. Так как в квадрате $$CD \perp DE$$, а точка $$D$$ лежит на $$AC$$, то треугольник $$ADE$$ равнобедренный, следовательно $$AD=DE=x$$.

Аналогично в треугольнике $$EFB$$ имеем $$\angle EBF=45^\circ$$, значит $$EFB$$ — равнобедренный, поэтому $$FB=EF=x$$.

Тогда

$$AC=AD+DC=x+x=2x,$$

откуда

$$2x=12,\quad x=6\text{ см}.$$

Периметр квадрата:

$$P_{CDEF}=4x=4\cdot 6=24\text{ см}.$$

Ответ: $$24\text{ см}$$.