Упр.408 ГДЗ Атанасян 7-9 класс по геометрии (Геометрия)

1. Точка пересечения двух равных хорд принадлежит некоторому диаметру. Докажите, что эти хорды симметричны относительно прямой, содержащей этот диаметр.
2. Докажите, что параллелограмм является ромбом, если:
   а) его диагонали взаимно перпендикулярны;
   б) диагональ делит его угол пополам.

Пусть $$AB$$ и $$CD$$ — данные равные хорды, $$K$$ — точка их пересечения, а прямая $$l$$ проходит через центр окружности $$O$$ и точку $$K$$.

Так как равные хорды окружности равноудалены от центра, то перпендикуляры, опущенные из центра на эти хорды, равны. Обозначим $$OE \perp AB$$ и $$OF \perp CD$$. Тогда

$$OE=OF.$$

Рассмотрим прямоугольные треугольники $$\triangle OEK$$ и $$\triangle OFK$$. У них

$$OK$$ — общая гипотенуза, $$OE=OF$$.

Следовательно,

$$\triangle OEK \cong \triangle OFK$$

по гипотенузе и катету. Отсюда

$$EK=KF.$$

Значит, точка $$K$$ — середина обеих хорд.

Теперь рассмотрим треугольники $$\triangle AOK$$ и $$\triangle DOK$$. Имеем

$$OA=OD$$

как радиусы окружности, $$OK$$ — общая сторона, а также $$EK=KF$$, поэтому точки $$A$$ и $$D$$, а также $$B$$ и $$C$$ расположены симметрично относительно прямой $$l$$. Следовательно, хорды $$AB$$ и $$CD$$ симметричны относительно прямой, содержащей данный диаметр.