Упр.407 ГДЗ Атанасян 7-9 класс по геометрии (Геометрия)

Пусть прямая AB проходит через центр O заданной окружности, отметим на окружности произвольную точку E и опустим перпендикуляр EC на прямую AB, отметим точку F на пересечении окружности и EC, тогда EC=CF, откуда E>F, то есть AB является осью симметрии, что и требовалось доказать.
Найдите углы, которые образуют диагонали ромба с его сторонами, если один из углов ромба равен 45°.

1) Пусть $$ABCD$$ — ромб, $$\angle A=45^\circ$$.

В ромбе противоположные углы равны, значит $$\angle C=45^\circ$$. Тогда сумма углов четырёхугольника даёт:

$$ \angle A+\angle B+\angle C+\angle D=360^\circ $$

$$ 45^\circ+\angle B+45^\circ+\angle D=360^\circ $$

Так как $$\angle B=\angle D$$, получаем:

$$ 45^\circ+\angle B+45^\circ+\angle B=360^\circ $$

$$ 2\angle B=270^\circ $$

$$ \angle B=\angle D=135^\circ $$

2) Диагональ $$BD$$ в ромбе биссектрисa угла $$B$$, поэтому

$$ \angle ABD=\frac{1}{2}\angle B=\frac{135^\circ}{2}=67^\circ30′ $$

3) Диагональ $$AC$$ в ромбе биссектрисa угла $$A$$, значит

$$ \angle BAC=\frac{1}{2}\angle A=\frac{45^\circ}{2}=22^\circ30′ $$

Ответ

$$\angle ABD=67^\circ30′,\quad \angle BAC=22^\circ30’$$