Упр.405 ГДЗ Атанасян 7-9 класс по геометрии (Геометрия)

1. Докажите, что прямая, содержащая высоту равнобедренного треугольника, проведённую к основанию, является его осью симметрии.
2. В ромбе одна из диагоналей равна стороне. Найдите: а) углы ромба; б) углы, которые диагонали ромба образуют с его сторонами.

Пусть $$ABCD$$ — ромб и одна из его диагоналей равна стороне, например $$BD=AB$$.

Тогда по определению ромба

$$AB=BC=CD=DA.$$

Из равенства $$BD=AB$$ получаем:

$$AB=BD=DA,$$

значит, $$\triangle ABD$$ — равносторонний. Аналогично, так как $$BD=AB=BC,$$ треугольник $$BCD$$ тоже равносторонний.

Следовательно, все углы этих треугольников равны $$60^\circ$$, то есть

$$\angle A=\angle ABD=\angle ADB=60^\circ,$$

$$\angle C=\angle CBD=\angle CDB=60^\circ.$$

Тогда углы ромба при вершинах $$B$$ и $$D$$ равны

$$\angle B=\angle ABD+\angle DBC=60^\circ+60^\circ=120^\circ,$$

$$\angle D=\angle ADB+\angle BDC=60^\circ+60^\circ=120^\circ.$$

Теперь найдём углы, которые диагонали образуют со сторонами. В ромбе диагональ биссектрисa углов, поэтому

$$\angle BAC=\frac{1}{2}\angle A=\frac{60^\circ}{2}=30^\circ,$$

$$\angle ABD=\frac{1}{2}\angle B=\frac{120^\circ}{2}=60^\circ.$$

Ответ: а) $$\angle A=\angle C=60^\circ,$$ $$\angle B=\angle D=120^\circ;$$ б) $$\angle ABD=60^\circ,$$ $$\angle BAC=30^\circ.$$