Упр.404 ГДЗ Атанасян 7-9 класс по геометрии (Геометрия)

Задача

Докажите, что прямые, симметричные двум данным перпендикулярным прямым относительно прямой $a$, перпендикулярны.
Докажите, что медиана прямоугольного треугольника, проведённая к гипотенузе, равна половине гипотенузы.

Подробный ответ

Пусть относительно некоторой прямой $$a$$ прямые $$a_1$$ и $$b_1$$ являются симметричными прямым $$a$$ и $$b$$. Возьмём точки $$A \in a$$, $$B \in b$$ и обозначим $$C=a\cap b$$. Тогда, так как $$a \perp b$$, имеем $$\angle ACB=90^\circ$$.

По свойству осевой симметрии сохраняются расстояния, значит

$$A_1B_1=AB,\quad B_1C_1=BC,\quad A_1C_1=AC.$$

Следовательно, треугольники $$A_1B_1C_1$$ и $$ABC$$ равны по трём сторонам. Тогда

$$\angle A_1C_1B_1=\angle ACB=90^\circ.$$

Значит, прямые $$a_1$$ и $$b_1$$ перпендикулярны.