Упр.402 ГДЗ Атанасян 7-9 класс по геометрии (Геометрия)
- Даны две параллельные прямые и точка, не лежащая ни на одной из них. Постройте окружность, проходящую через данную точку и касающуюся данных прямых.
- Диагонали прямоугольника $$ABCD$$ пересекаются в точке $$O$$. Докажите, что треугольники $$AOD$$ и $$AOB$$ равнобедренные.
Пусть прямые $$a$$ и $$b$$ параллельны, а точка $$A$$ не лежит ни на одной из них. Опустим из точки $$A$$ перпендикуляр на прямую $$a$$ и обозначим основание через $$B$$. Тогда $$AB$$ — расстояние от точки $$A$$ до прямой $$a$$.
Через точку $$B$$ проведём прямую, перпендикулярную $$AB$$. Так как $$a \parallel b$$, эта прямая будет перпендикулярна и прямой $$b$$. Обозначим точку пересечения этой прямой с $$b$$ через $$C$$. Тогда $$BC$$ — общий перпендикуляр к параллельным прямым $$a$$ и $$b$$.
Построим серединный перпендикуляр к отрезку $$BC$$ и обозначим его пересечение с прямой $$AB$$ через $$D$$. Тогда $$DB=DC$$, а значит, точка $$D$$ равноудалена от прямых $$a$$ и $$b$$.
Проведём окружность с центром в точке $$D$$ и радиусом $$DB$$. Она касается прямой $$a$$ в точке $$B$$ и прямой $$b$$ в точке $$C$$, так как радиусы $$DB$$ и $$DC$$ перпендикулярны касательным.
Теперь рассмотрим расстояние от точки $$A$$ до центра $$D$$. Так как точка $$A$$ лежит на перпендикуляре к прямой $$a$$, а точка $$D$$ выбрана на этом же перпендикуляре, то окружность с центром в $$D$$ и радиусом $$DA$$ проходит через точку $$A$$. Следовательно, искомая окружность построена.
Итак, нужно:
- опустить из точки $$A$$ перпендикуляр к одной из прямых;
- через его основание провести перпендикуляр к этой прямой до пересечения со второй прямой;
- построить серединный перпендикуляр к полученному отрезку;
- взять точку пересечения этого перпендикуляра с первым перпендикуляром как центр окружности;
- провести окружность через точку $$A$$.
Ответ: искомая окружность строится с центром в точке, равноудалённой от данных параллельных прямых и лежащей на перпендикуляре, проведённом через точку $$A$$.
