Упр.400 ГДЗ Атанасян 7-9 класс по геометрии (Геометрия)

1. В равнобедренный треугольник вписана окружность с центром $$O_1$$, и около него описана окружность с центром $$O_2$$. Докажите, что точки $$O_1$$ и $$O_2$$ лежат на серединном перпендикуляре к основанию треугольника.
2. Докажите, что если в четырёхугольнике все углы прямые, то четырёхугольник — прямоугольник.

Пусть $$M$$ — середина основания равнобедренного треугольника. Тогда медиана, проведённая к основанию, является одновременно высотой и биссектрисой, то есть прямая $$AM$$ перпендикулярна основанию и делит угол при вершине пополам.

Центр вписанной окружности $$O_1$$ лежит в точке пересечения биссектрис треугольника. Значит, он лежит на биссектрисе угла при вершине, то есть на прямой $$AM$$.

Центр описанной окружности $$O_2$$ лежит в точке пересечения серединных перпендикуляров к сторонам треугольника. В равнобедренном треугольнике серединный перпендикуляр к основанию проходит через его середину $$M$$ и перпендикулярен основанию, то есть совпадает с прямой $$AM$$.

Следовательно, точки $$O_1$$ и $$O_2$$ лежат на серединном перпендикуляре к основанию треугольника, что и требовалось доказать.