Упр.399 ГДЗ Атанасян 7-9 класс по геометрии (Геометрия)

1. Центр описанной около треугольника окружности лежит на медиане. Докажите, что этот треугольник либо равнобедренный, либо прямоугольный.
2. Докажите, что параллелограмм, один из углов которого прямой, является прямоугольником.

Пусть в треугольнике $$ABC$$ отрезок $$BD$$ является медианой, а центр описанной окружности $$O$$ лежит на $$BD$$.

Так как $$O$$ — центр описанной окружности, то он равноудалён от вершин треугольника:

$$OA=OB=OC.$$

Точки $$B$$ и $$O$$ лежат на прямой $$BD$$. Рассмотрим два случая.

1. Если точка $$O$$ не совпадает с точкой $$D$$, то прямая $$BD$$ проходит через центр окружности и середину хорды $$AC$$. Значит, $$BD$$ является серединным перпендикуляром к $$AC$$, то есть $$BD \perp AC$$.

   Но $$BD$$ — медиана, следовательно, $$D$$ — середина $$AC$$. Тогда $$BD$$ одновременно является и медианой, и высотой треугольника. Отсюда $$AB=BC$$, то есть треугольник $$ABC$$ равнобедренный.

2. Если точки $$O$$ и $$D$$ совпадают, то центр описанной окружности лежит на стороне $$AC$$. Это возможно только в случае, когда $$AC$$ — диаметр окружности. Тогда угол, опирающийся на диаметр, прямой:

   $$\angle B=90^\circ.$$

   Следовательно, треугольник $$ABC$$ прямоугольный.

Итак, треугольник $$ABC$$ либо равнобедренный, либо прямоугольный.