Упр.397 ГДЗ Атанасян 7-9 класс по геометрии (Геометрия)

Задача

Дано:
O-ц.окруж;
AB-диаметр;
AD; BC-хорд;
BC || AD;
Доказать:
CD-диаметр;
Решение:
1) Накрест лежащие углы:
AD || BC, CD, угол ADC=угол BCD;
AD || BC, AB, угол DAB=угол ABC;
2) В треугольниках AOD и BOC:
угол DAO=угол CBO, угол ADO=угол BCO;
угол AOD=угол BOC, откуда O принадлежит CD;
Что и требовалось доказать.
Постройте равнобедренную трапецию ABCD: а) по основанию AD, углу А и боковой стороне АВ; б) по основанию ВС, боковой стороне АВ и диагонали BD.

Подробный ответ

Пусть $$O$$ — центр окружности. Так как $$AB$$ — диаметр, то точки $$A, O, B$$ лежат на одной прямой.

Рассмотрим углы, образованные параллельными хордами $$AD$$ и $$BC$$ с секущей $$AB$$:

$$\angle DAB=\angle ABC.$$

Кроме того, так как $$AD \parallel BC$$, а прямая $$CD$$ пересекает их, то

$$\angle ADC=\angle BCD.$$

Теперь рассмотрим треугольники $$AOD$$ и $$BOC$$. В них:

$$\angle DAO=\angle CBO,$$

так как $$AO$$ и $$BO$$ лежат на одной прямой $$AB$$, а $$AD \parallel BC$$;

$$\angle ADO=\angle BCO,$$

так как $$DO$$ и $$CO$$ — радиусы, проведённые к точкам $$D$$ и $$C$$, а соответствующие углы равны из-за параллельности $$AD$$ и $$BC$$;

$$\angle AOD=\angle BOC,$$

так как это углы, образованные лучами, соответственно перпендикулярными к параллельным хордам.

Следовательно, треугольники $$AOD$$ и $$BOC$$ равны, откуда получаем, что точки $$O, C, D$$ лежат на одной прямой. Значит, прямая $$CD$$ проходит через центр окружности.

А хорда, проходящая через центр окружности, является диаметром. Следовательно, $$CD$$ — диаметр.