Упр.397 ГДЗ Атанасян 7-9 класс по геометрии (Геометрия)
- Отрезок $$AB$$ является диаметром окружности, а хорды $$BC$$ и $$AD$$ параллельны. Докажите, что хорда $$CD$$ является диаметром.
- Постройте равнобедренную трапецию $$ABCD$$:
а) по основанию $$AD$$, углу $$A$$ и боковой стороне $$AB$$;
б) по основанию $$BC$$, боковой стороне $$AB$$ и диагонали $$BD$$.
Так как $$AD \parallel BC,$$ то при секущей $$CD$$ получаем равенство накрест лежащих углов:
$$\angle ADC=\angle BCD.$$
При секущей $$AB$$ имеем:
$$\angle DAB=\angle ABC.$$
Пусть $$O$$ — центр окружности. Тогда $$OA=OB$$ и $$OD=OC$$ как радиусы.
Рассмотрим треугольники $$AOD$$ и $$BOC$$. В них:
$$OA=OB,$$
$$OD=OC,$$
$$\angle ADO=\angle BCO,$$
поскольку $$\angle ADC=\angle BCD$$ и точки $$O, D, C$$ лежат на одной прямой.
Следовательно, треугольники $$AOD$$ и $$BOC$$ равны, откуда
$$\angle AOD=\angle BOC.$$
Но точки $$A, O, B$$ лежат на одной прямой, значит углы $$\angle AOD$$ и $$\angle BOC$$ — смежные. Равенство смежных углов возможно только в случае, когда они оба равны $$90^\circ$$. Значит, прямая $$CD$$ проходит через центр окружности.
Следовательно, хорда $$CD$$ является диаметром.
