Упр.395 ГДЗ Атанасян 7-9 класс по геометрии (Геометрия)
- Прямые $$AB$$ и $$AC$$ — касательные к окружности с центром $$O$$, $$B$$ и $$C$$ — точки касания. Через произвольную точку $$X$$, взятую на дуге $$BC$$, проведена касательная к этой окружности, пересекающая отрезки $$AB$$ и $$AC$$ в точках $$M$$ и $$N$$. Докажите, что периметр треугольника $$AMN$$ и величина угла $$MON$$ не зависят от выбора точки $$X$$ на дуге $$BC$$.
- Даны острый угол $$hk$$ и два отрезка $$P_1Q_1$$ и $$P_2Q_2$$. Постройте параллелограмм $$ABCD$$ так, чтобы расстояние между параллельными прямыми $$AB$$ и $$DC$$ равнялось $$P_1Q_1$$, $$AB=P_2Q_2$$ и $$\angle A=\angle hk$$.
Так как $$AB$$ и $$AC$$ — касательные к окружности, проведённые из одной точки $$A$$, то
$$AB=AC.$$
Пусть касательная через точку $$X$$ пересекает $$AB$$ в точке $$M$$, а $$AC$$ — в точке $$N$$.
Из свойства касательных, проведённых из одной точки, получаем:
$$BM=BX,\qquad CN=CX.$$
Тогда
$$AB=AM+MB,\qquad AC=AN+NC.$$
Кроме того, отрезок $$MN$$ состоит из двух касательных частей:
$$MN=MX+XN=BM+CN.$$
Следовательно, периметр треугольника $$AMN$$ равен
$$P_{AMN}=AM+MN+AN =(AB-BM)+(BM+CN)+(AC-CN)=AB+AC.$$
Так как $$AB=AC$$, то
$$P_{AMN}=AB+AC=2AB,$$
то есть периметр $$\triangle AMN$$ не зависит от выбора точки $$X$$.
Докажем теперь, что угол $$MON$$ постоянен.
Рассмотрим треугольники $$BOM$$ и $$XOM$$. У них
$$OB=OX$$ — радиусы,
$$OM$$ — общая сторона,
$$\angle BMO=\angle XMO=90^\circ$$, так как радиус перпендикулярен касательной.
Значит, $$\triangle BOM \cong \triangle XOM$$ по гипотенузе и катету, откуда
$$\angle BOM=\angle XOM.$$
Аналогично, из равенства треугольников $$XON$$ и $$CON$$ получаем
$$\angle XON=\angle CON.$$
Тогда центральный угол
$$\angle BOC=\angle BOM+\angle MOX+\angle XON+\angle NOC =2\angle MOX+2\angle NOX.$$
Но
$$\angle MON=\angle MOX+\angle XON=\angle MOX+\angle NOX,$$
поэтому
$$\angle BOC=2\angle MON,$$
то есть
$$\angle MON=\frac12\angle BOC.$$
Угол $$BOC$$ постоянен, значит, постоянен и угол $$MON$$.
Ответ: $$P_{AMN}=2AB=\text{const},\quad \angle MON=\dfrac12\angle BOC=\text{const}.$$
