Упр.389 ГДЗ Атанасян 7-9 класс по геометрии (Геометрия)

Задача

Рассмотрим вариант решения задания из учебника Атанасян, Бутузов 7 класс, Просвещение: 389. Лежат ли точки A_1, B_1, C_1 на одной прямой, если они симметричны точкам А, В, С относительно некоторой прямой и известно, что: а) AB=2 дм, AC=10 дм, BC=80 см; б) AB=1,1 см, B_1C_1=5 см, CA=6 см? Докажите, что трапеция равнобедренная, если: а) углы при основании равны; б) диагонали трапеции равны.

Подробный ответ

Рассмотрим трапецию $$ABCD$$, у которой $$AD \parallel BC$$. Опустим из точек $$B$$ и $$C$$ перпендикуляры на основание $$AD$$: $$BB_1 \perp AD$$, $$CC_1 \perp AD$$.

а) Пусть $$\angle A=\angle D$$.

Тогда четырёхугольник $$BCC_1B_1$$ — прямоугольник, значит $$BB_1=CC_1$$. Кроме того,

$$\angle ABB_1=\angle B-90^\circ,\qquad \angle DCC_1=\angle C-90^\circ.$$

Так как в трапеции $$\angle B+\angle C=180^\circ$$, а по условию $$\angle A=\angle D$$, то $$\angle B=\angle C$$. Следовательно, $$\angle ABB_1=\angle DCC_1$$.

В прямоугольных треугольниках $$\triangle ABB_1$$ и $$\triangle DCC_1$$ равны два катета и угол между ними, значит

$$\triangle ABB_1 \cong \triangle DCC_1.$$

Отсюда $$AB=CD$$. Следовательно, трапеция $$ABCD$$ равнобедренная.

б) Пусть $$AC=BD$$.

Так как $$BB_1 \perp AD$$ и $$CC_1 \perp AD$$, то $$BB_1=CC_1$$ — высоты трапеции. Тогда прямоугольные треугольники $$\triangle ACC_1$$ и $$\triangle DBB_1$$ имеют равные гипотенузы:

$$AC=BD,$$

и равные катеты:

$$CC_1=BB_1.$$

Значит,

$$\triangle ACC_1 \cong \triangle DBB_1.$$

Отсюда $$AC_1=B_1D$$.

Но

$$AC_1=AB+B_1C_1,\qquad B_1D=BC_1+C_1D.$$

Так как $$B_1C_1=BC_1$$, получаем

$$AB=C D.$$

Следовательно, трапеция $$ABCD$$ равнобедренная.