Упр.389 ГДЗ Атанасян 7-9 класс по геометрии (Геометрия)
- Лежат ли точки $$A_1, B_1, C_1$$ на одной прямой, если они симметричны точкам $$A, B, C$$ относительно некоторой прямой и известно, что: а) $$AB=2\text{ дм}$$, $$AC=10\text{ дм}$$, $$BC=80\text{ см}$$; б) $$AB=1{,}1\text{ см}$$, $$B_1C_1=5\text{ см}$$, $$CA=6\text{ см}$$?
- Докажите, что трапеция равнобедренная, если: а) углы при основании равны; б) диагонали трапеции равны.
Рассмотрим, могут ли точки $$A_1,$$ $$B_1,$$ $$C_1$$ лежать на одной прямой. При отражении относительно некоторой прямой сохраняются расстояния, поэтому если точки $$A,$$ $$B,$$ $$C$$ лежат на одной прямой, то и их образы $$A_1,$$ $$B_1,$$ $$C_1$$ тоже лежат на одной прямой, и наоборот.
Проверим это по данным.
а) $$AB=2\text{ дм},\quad AC=10\text{ дм},\quad BC=80\text{ см}=8\text{ дм}.$$
Имеем:
$$AB+BC=2+8=10\text{ дм}=AC.$$
Значит, точки $$A,$$ $$B,$$ $$C$$ лежат на одной прямой, причём $$B$$ находится между $$A$$ и $$C$$. Тогда и точки $$A_1,$$ $$B_1$$, $$C_1$$ лежат на одной прямой.
б) $$AB=1{,}1\text{ см},\quad B_1C_1=5\text{ см},\quad CA=6\text{ см}.$$
Так как при симметрии сохраняются расстояния, то $$B_1C_1=BC=5\text{ см}.$$ Тогда
$$AB+BC=1{,}1+5=6{,}1\text{ см}\neq CA=6\text{ см}.$$
Следовательно, точки $$A,$$ $$B,$$ $$C$$ не лежат на одной прямой, а значит, не лежат на одной прямой и точки $$A_1,$$ $$B_1,$$ $$C_1$$.
Ответ: а) да; б) нет.
