Упр.385 ГДЗ Атанасян 7-9 класс по геометрии (Геометрия)

Две точки симметричны относительно прямой в том и только в том случае, когда они лежат на одном перпендикуляре к этой прямой, а также расстояния от точек до прямой равны;
Ответ: а) нет; б) да; в) нет. Докажите теорему Фалеса1: если на одной из двух прямых отложить последовательно несколько равных отрезков и через их концы провести параллельные прямые, пересекающие вторую прямую, то они отсекут на второй прямой равные между собой отрезки. Решение Пусть на прямой l1 отложены равные отрезки A1A2, А2А3, А3А4, … и через их концы проведены параллельные прямые, которые пересекают прямую l2 в точках В1, В2, В3, В4, … (рис. 165). Требуется доказать, что отрезки В1В2, В2В3, В3В4, … равны друг другу. Докажем, например, что В1В2 = В2В3. Рассмотрим сначала случай, когда прямые l1 и 12 параллельны (рис. 165, а). Тогда А1А2 = В1В2 и А2А3 = В2В3 как противоположные стороны параллелограммов A1B1B2A2 и А2В2В3А3. Так как А1А2 — А2А3, то и В1В2 = В2В3. Если прямые l1 и l2 не параллельны, то через точку В1 проведём прямую l, параллельную прямой l1 (рис. 165, б). Она пересечёт прямые А2В2 и А3В3 в некоторых точках С и D. Так как A1A2 = А2А3, то по доказанному B1C = CD. Отсюда получаем: В1В2 = В2В3 (задача 384). Аналогично можно доказать, что В2В3 = В3В4 и т. д.

Две точки симметричны относительно прямой тогда и только тогда, когда они лежат на одном перпендикуляре к этой прямой и расстояния от них до прямой равны.

Проверим данные случаи:

• а) $$4\text{ см} \ne 6\text{ см}$$, значит, точки не могут быть симметричны;
• б) $$7\text{ см} = 7\text{ см}$$, значит, точки могут быть симметричны;
• в) $$11{,}3\text{ см} \ne 11{,}4\text{ см}$$, значит, точки не могут быть симметричны.

Докажем теорему Фалеса.

Пусть на прямой $$l_1$$ отложены равные отрезки $$A_1A_2,\ A_2A_3,\ A_3A_4,\ldots$$ и через их концы проведены параллельные прямые, пересекающие прямую $$l_2$$ в точках $$B_1,\ B_2,\ B_3,\ldots$$ Нужно доказать, что

$$B_1B_2=B_2B_3=B_3B_4=\ldots$$

Докажем, например, что $$B_1B_2=B_2B_3$$.

1. Случай $$l_1 \parallel l_2$$. Тогда четырёхугольники $$A_1B_1B_2A_2$$ и $$A_2B_2B_3A_3$$ — параллелограммы, поэтому

$$A_1A_2=B_1B_2,\qquad A_2A_3=B_2B_3.$$

Так как по условию $$A_1A_2=A_2A_3$$, то

$$B_1B_2=B_2B_3.$$

2. Случай $$l_1 \not\parallel l_2$$. Проведём через точку $$B_1$$ прямую $$l$$, параллельную $$l_1$$. Она пересечёт прямые $$A_2B_2$$ и $$A_3B_3$$ в точках $$C$$ и $$D$$.

Так как $$A_1A_2=A_2A_3$$, то по уже доказанному для параллельных прямых получаем

$$B_1C=CD.$$

Но тогда, по задаче 384, из равенства отрезков на одной прямой следует

$$B_1B_2=B_2B_3.$$

Аналогично доказывается, что $$B_2B_3=B_3B_4$$ и т. д. Следовательно, все отрезки равны.

Ответ: а) нет; б) да; в) нет.