Упр.383 ГДЗ Атанасян 7-9 класс по геометрии (Геометрия)

1. Какие из следующих букв имеют ось симметрии: А, Б, Г, Е, О, F?
2. На диагонали $$BD$$ параллелограмма $$ABCD$$ отмечены две точки $$P$$ и $$Q$$ так, что $$PB=QD$$. Докажите, что четырёхугольник $$APCQ$$ — параллелограмм.

Пусть $$ABCD$$ — параллелограмм, $$P$$ и $$Q$$ лежат на диагонали $$BD$$, причём $$PB=QD$$.

Рассмотрим треугольники $$ABP$$ и $$CDQ$$.

Так как $$ABCD$$ — параллелограмм, то $$AB=CD$$ и $$AB \parallel CD$$, $$BC \parallel AD$$.

Углы $$\angle ABP$$ и $$\angle CDQ$$ равны как накрест лежащие при параллельных прямых $$AB \parallel CD$$ и секущей $$BD$$.

Кроме того, $$PB=QD$$ по условию.

Следовательно, $$\triangle ABP \cong \triangle CDQ$$ по двум сторонам и углу между ними. Отсюда

$$AP=CQ.$$

Аналогично рассмотрим треугольники $$BCP$$ и $$ADQ$$.

Имеем $$BC=AD$$, $$\angle CBP=\angle ADQ$$ как накрест лежащие при $$BC \parallel AD$$ и секущей $$BD$$, а также $$PB=QD$$.

Значит, $$\triangle BCP \cong \triangle ADQ$$, откуда

$$CP=AQ.$$

В четырёхугольнике $$APCQ$$ обе пары противоположных сторон равны:

$$AP=CQ,\qquad CP=AQ.$$

Следовательно, $$APCQ$$ — параллелограмм.