Упр.382 ГДЗ Атанасян 7-9 класс по геометрии (Геометрия)

1. Перенесите в тетрадь таблицу. Нарисуйте примеры фигур с данным числом осей.
2. Диагонали параллелограмма $$ABCD$$ пересекаются в точке $$O$$. Докажите, что четырёхугольник $$A_1B_1C_1D_1$$, вершинами которого являются середины отрезков $$OA$$, $$OB$$, $$OC$$ и $$OD$$, — параллелограмм.

1) Диагонали параллелограмма пересекаются и делятся точкой пересечения пополам, значит

$$AO=OC,\qquad BO=OD.$$

Пусть $$A_1,\;B_1,\;C_1,\;D_1$$ — середины отрезков $$OA,\;OB,\;OC,\;OD$$ соответственно. Тогда

$$A_1O=OC_1=\frac12\,AO,\qquad B_1O=OD_1=\frac12\,BO.$$

Из равенств $$AO=OC$$ и $$BO=OD$$ получаем

$$A_1O=OC_1,\qquad B_1O=OD_1.$$

Следовательно, точки $$A_1$$ и $$C_1$$ симметричны относительно точки $$O$$, а точки $$B_1$$ и $$D_1$$ — тоже симметричны относительно $$O$$. Значит, диагонали четырёхугольника $$A_1B_1C_1D_1$$ пересекаются и делятся пополам.

По признаку параллелограмма четырёхугольник $$A_1B_1C_1D_1$$ — параллелограмм.

Ответ: $$A_1B_1C_1D_1$$ — параллелограмм.